Решите систему уравнений методом замены переменной: x^2y^2-5xy=-6 x+y=3

x = 2, y = 1

Для решения данной системы уравнений методом замены переменной, начнем с уравнений:

1. ( x^2y^2 - 5xy = -6 )
2. ( x + y = 3 )

Первым шагом используем уравнение (2) для выражения одной переменной через другую. Например, выразим ( y ) через ( x ):

[ y = 3 - x ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) в первое уравнение:

[ x^2(3-x)^2 - 5x(3-x) = -6 ]

Раскроем скобки в уравнении:

[ x^2(9 - 6x + x^2) - 5x(3 - x) = -6 ]

Перепишем уравнение:

[ 9x^2 - 6x^3 + x^4 - 15x + 5x^2 = -6 ]

Объединим подобные члены:

[ x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x = -6 ]

Перенесем -6 на левую часть уравнения:

[ x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x + 6 = 0 ]

Теперь решим это уравнение относительно ( x ). Это уравнение четвертой степени, и его аналитическое решение может быть сложным, поэтому имеет смысл попробовать методы факторизации или подбора корней.

Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни могут быть делителями 6: ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 ).

Проверим эти значения:

1. ( x = 1 ): [ 1^4 - 6 \cdot 1^3 + 14 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 + 6 = 1 - 6 + 14 - 15 + 6 = 0 ]

Таким образом, ( x = 1 ) является корнем. Разделим многочлен на ( x - 1 ):

[ x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x + 6 = (x - 1)(x^3 - 5x^2 + 9x - 6) ]

Теперь решим кубическое уравнение ( x^3 - 5x^2 + 9x - 6 = 0 ).

Снова применим метод теоремы о рациональных корнях для оставшихся возможных корней ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 ).

Проверим:

1. ( x = 2 ): [ 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 - 6 = 8 - 20 + 18 - 6 = 0 ]

Таким образом, ( x = 2 ) также является корнем. Разделим многочлен на ( x - 2 ):

[ x^3 - 5x^2 + 9x - 6 = (x - 2)(x^2 - 3x + 3) ]

Теперь у нас есть полное разложение:

[ (x - 1)(x - 2)(x^2 - 3x + 3) = 0 ]

Решим квадратное уравнение ( x^2 - 3x + 3 = 0 ) по дискриминанту:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 ]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение ( x^2 - 3x + 3 = 0 ) не имеет вещественных корней.

Таким образом, вещественные решения системы:

1. ( x = 1 ), ( y = 3 - 1 = 2 )
2. ( x = 2 ), ( y = 3 - 2 = 1 )

Эти пары ( (x, y) ) являются решениями исходной системы уравнений. Ответ: ( (x, y) = (1, 2) ) и ( (x, y) = (2, 1) ).

Для решения данной системы уравнений методом замены переменной можно воспользоваться следующими шагами:

1. Выразим одну из переменных из второго уравнения и подставим это выражение в первое уравнение. Например, из уравнения x + y = 3 выразим переменную y: y = 3 - x.

2. Подставим выражение для y в первое уравнение: x^2(3-x)^2 - 5x(3-x) = -6.

3. Разложим полученное уравнение и приведем его к виду квадратного уравнения: x^2(9 - 6x + x^2) - 15x + 5x^2 = -6.

4. Упростим уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения: 9x^2 - 6x^3 + x^4 - 15x + 5x^2 = -6.

5. Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем его к виду ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0.

6. Решим полученное квадратное уравнение методом подбора корней или другими методами решения уравнений.

Таким образом, решив квадратное уравнение, мы найдем значения переменных x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям и являются решением данной системы уравнений.