Решите неравенство 2⁽ˣ⁾ - 6 - (92⁽ˣ⁾-37 / 4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4
Пояснения ⁽ˣ⁾ - это модуль x
В скобках стоит дробь, числитель которой 92⁽ˣ⁾-37, а знаменатель 4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12
Решите неравенство 2⁽ˣ⁾ - 6 - (92⁽ˣ⁾-37 / 4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4
Пояснения ⁽ˣ⁾ - это модуль x
В скобках стоит дробь, числитель которой 92⁽ˣ⁾-37, а знаменатель 4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12
Рассмотрим неравенство: [2^{|x|} - 6 - \frac{9 \cdot 2^{|x|} - 37}{4^{|x|} - 7 \cdot 2^{|x|} + 12} \leq \frac{1}{2^{|x|}} - 4.]
Для удобства введем замену ( t = 2^{|x|} ), где ( t > 0 ). Тогда неравенство примет вид: [ t - 6 - \frac{9t - 37}{t^2 - 7t + 12} \leq \frac{1}{t} - 4. ]
Приведем все слагаемые к общему знаменателю, чтобы упростить выражение. Общий знаменатель будет ( t^2 - 7t + 12 ). Получим: [ t(t^2 - 7t + 12) - 6(t^2 - 7t + 12) - (9t - 37) \leq \frac{t^2 - 7t + 12}{t}(\frac{1}{t} - 4). ]
Рассмотрим сначала левую часть: [ t(t^2 - 7t + 12) - 6(t^2 - 7t + 12) - (9t - 37) = t^3 - 7t^2 + 12t - 6t^2 + 42t - 72 - 9t + 37. ] Упрощаем: [ t^3 - 13t^2 + 45t - 35. ]
Теперь рассмотрим правую часть: [ \frac{t^2 - 7t + 12}{t} \cdot \frac{1}{t} - 4 \cdot \frac{t^2 - 7t + 12}{t}. ] [ \frac{t^2 - 7t + 12}{t^2} - 4 \cdot \frac{t^2 - 7t + 12}{t}. ] [ \frac{t^2 - 7t + 12}{t^2} - 4 \cdot \frac{t^2 - 7t + 12}{t}. ] [ \frac{t^2 - 7t + 12}{t^2} - \frac{4(t^2 - 7t + 12)}{t}. ] [ \frac{1 - \frac{7t}{t^2} + \frac{12}{t^2}}{t^2} - 4(t - \frac{7}{t} + \frac{12}{t^2}). ] [ \frac{1}{t^2} - \frac{7}{t} + 12 - 4t + \frac{28}{t} - \frac{48}{t^2}. ] [ \frac{1 - 48}{t^2} + \frac{28 - 7}{t} + 12 - 4t. ] [ \frac{-47}{t^2} + \frac{21}{t} + 12 - 4t. ]
Итак, наше неравенство принимает вид: [ t^3 - 13t^2 + 45t - 35 \leq \frac{-47}{t^2} + \frac{21}{t} + 12 - 4t. ]
Для решения этого неравенства нужно исследовать его корни и знаки на каждом интервале. Для этого потребуется детально рассмотреть графики функций и определить, где неравенство выполняется. Однако это достаточно сложные аналитические преобразования. Рекомендуется использовать численные методы или графические методы для анализа решений.
В частности, можно воспользоваться программными средствами, такими как WolframAlpha или MATLAB, для численного решения этого неравенства и анализа его решений.
Для того чтобы решить данное неравенство, сначала преобразуем его:
2⁽ˣ⁾ - 6 - (92⁽ˣ⁾-37) / (4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4
Упростим дробь в скобках:
2⁽ˣ⁾ - 6 - (92⁽ˣ⁾-37) / (4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4
2⁽ˣ⁾ - 6 - (92⁽ˣ⁾-37) / (4⁽ˣ⁾-72⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4 2⁽ˣ⁾ - 6 - (18⁽ˣ⁾-37) / (4⁽ˣ⁾-14⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4 2⁽ˣ⁾ - 6 - (18⁽ˣ⁾-37) / (-10⁽ˣ⁾+12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4 2⁽ˣ⁾ - 6 + (37-18⁽ˣ⁾) / (10⁽ˣ⁾-12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4 2⁽ˣ⁾ - 6 + (37-18⁽ˣ⁾) / (10⁽ˣ⁾-12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4
Теперь решим неравенство:
2⁽ˣ⁾ - 6 + (37-18⁽ˣ⁾) / (10⁽ˣ⁾-12) ≤ 1/2⁽ˣ⁾-4 2⁽ˣ⁾ - 6 + (37-18⁽ˣ⁾) / (10⁽ˣ⁾-12) - 1/2⁽ˣ⁾ + 4 ≤ 0 2⁽ˣ⁾ - 1/2⁽ˣ⁾ + 37/10⁽ˣ⁾ - 18⁽ˣ⁾ - 6 + 4 ≤ 0 2⁽ˣ⁾ - 1/2⁽ˣ⁾ + 37/10⁽ˣ⁾ - 18⁽ˣ⁾ - 2 ≤ 0
Далее можно попробовать решить это неравенство численно или графически, используя методы анализа функций.
