Решения уравнения sin 4x = 0

Решения уравнения $\sin 4x=0$ имеют вид:

$4x=n\pi ,n\in \mathbb{Z}$

Отсюда получаем:

$x=\frac{n\pi }{4},n\in \mathbb{Z}$

Чтобы найти решения уравнения $\sin 4x=0$, давайте разберёмся с ним шаг за шагом.

1. Общие свойства функции синуса

Функция синуса равна нулю в точках, где её аргумент равен целому числу $\pi$: $\sin y=0\text{тогда и только тогда, когда }y=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

2. Применение к данному уравнению

В нашем случае аргумент функции синуса равен $4x$. Следовательно, уравнение $\sin 4x=0$ выполняется, если: $4x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

3. Решение для $x$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе стороны уравнения на 4: $x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}.$

4. Общее решение

Таким образом, общее решение уравнения $\sin 4x=0$ записывается следующим образом: $x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}.$

5. Интерпретация решения

Это означает, что $x$ принимает значения, которые представляют собой дробные части числа $\pi$, делённого на 4, с любым целым множителем $k$. Например:

• При $k=0$: $x=0$,
• При $k=1$: $x=\frac{\pi }{4}$,
• При $k=-1$: $x=-\frac{\pi }{4}$,
• При $k=2$: $x=\frac{\pi }{2}$,
• При $k=-2$: $x=-\frac{\pi }{2}$, и так далее.

6. Графическая интерпретация

График функции $\sin 4x$ пересекает ось $x$ $тоестьпринимаетзначение0$ через одинаковые интервалы, равные $\frac{\pi }{4}$. Это связано с тем, что умножение аргумента на 4 сжимает период синуса в 4 раза. Период функции $\sin 4x$ равен: $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}.$ Таким образом, нули функции равномерно распределены на расстоянии $\frac{\pi }{4}$ друг от друга.

Итог:

Решения уравнения $\sin 4x=0$ выражаются формулой: $x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}.$

Для решения уравнения $\sin (4x$ = 0 ) необходимо определить, когда синус равен нулю.

Синус равен нулю в следующих точках:

$\sin (\theta )=0\Rightarrow \theta =k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

где $k$ — любое целое число.

В нашем случае, вместо $\theta$ мы подставляем $4x$:

$4x=k\pi$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x=\frac{k\pi }{4}$

Таким образом, общее решение уравнения $\sin (4x$ = 0 ) записывается следующим образом:

$x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Это означает, что для любого целого числа $k$ можно найти соответствующее значение $x$, при котором $\sin (4x$ = 0 ).

Примеры решений

• Для $k=0$: $x=\frac{0\cdot \pi }{4}=0$
• Для $k=1$: $x=\frac{1\cdot \pi }{4}=\frac{\pi }{4}$
• Для $k=-1$: $x=\frac{-1\cdot \pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$
• Для $k=2$: $x=\frac{2\cdot \pi }{4}=\frac{\pi }{2}$
• Для $k=-2$: $x=\frac{-2\cdot \pi }{4}=-\frac{\pi }{2}$

И так далее. Таким образом, все решения этого уравнения представляют собой последовательность значений, расположенных на числовой прямой с интервалами $\frac{\pi }{4}$.