Радиус окружности , вписанной в трапецию , равен 34 . Найдите высоту это трапеции .

Для решения задачи о нахождении высоты трапеции, в которую вписана окружность, воспользуемся известной формулой, связывающей радиус вписанной окружности, высоту трапеции и её основания.

Если в трапецию можно вписать окружность, то она является равнобочной. Это значит, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон.

Обозначим:

• ( r ) — радиус вписанной окружности,
• ( a ) и ( b ) — основания трапеции (( a > b )),
• ( h ) — высота трапеции,
• ( s ) — полупериметр трапеции.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, полупериметр ( s ) равен: [ s = \frac{a + b + c + d}{2}, ] где ( c ) и ( d ) — боковые стороны трапеции.

Так как трапеция равнобочная, то ( c = d ), и, следовательно: [ a + b = c + d. ]

Формула для связи радиуса вписанной окружности с высотой трапеции и её основаниями выглядит так: [ r = \frac{h \cdot (a + b)}{2 \cdot (a + b)} = \frac{h}{2}. ]

Отсюда высота ( h ) выражается через радиус ( r ) как: [ h = 2r. ]

Подставим значение радиуса ( r = 34 ): [ h = 2 \cdot 34 = 68. ]

Таким образом, высота трапеции равна 68 единицам.

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами вписанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в трапецию. Она касается каждой стороны трапеции в одной точке. Проведем радиус окружности к точкам касания с каждой из сторон трапеции. Получим четыре треугольника: два прямоугольных и два равнобедренных.

Пусть высота трапеции равна h, а основания трапеции равны a и b. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках имеем: (r^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2) и (r^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + h^2),

где r - радиус вписанной окружности.

Решив систему уравнений, мы найдем высоту h трапеции.

Высота трапеции равна разности радиусов вписанной и описанной окружностей, то есть 34.