Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и теоремой Пифагора.
Построение и свойства: Поскольку радиус ( OB ) перпендикулярен хорде ( AC ) в точке ( D ), точка ( D ) является серединой хорды ( AC ). Таким образом, если ( BD = 1 ) см, то ( AD = DC = BD = 1 ) см.
Использование теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник ( OBD ), где ( OB ) — радиус окружности и равен 5 см, ( BD = 1 ) см. Поскольку ( D ) — середина хорды ( AC ), то ( OD ) будет высотой, опущенной из ( O ) на ( AC ). Мы можем найти ( OD ), используя теорему Пифагора: [ OD^2 + BD^2 = OB^2 \Rightarrow OD^2 + 1^2 = 5^2 \Rightarrow OD^2 + 1 = 25 \Rightarrow OD^2 = 24 \Rightarrow OD = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см} ]
Нахождение длины хорды ( AC ): Так как ( D ) — середина ( AC ), то ( AD = DC ). Таким образом, длина хорды ( AC ) равна ( 2 \times AD ). Поскольку ( AD = BD = 1 ) см, длина хорды ( AC ) будет: [ AC = 2 \times AD = 2 \times 1 = 2 \text{ см} ]
Таким образом, длина хорды ( AC ) равна 2 см.
Длина хорды AC равна 8 см.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде. Согласно этой теореме, отрезок, проведенный из центра окружности к точке пересечения с хордой, делит хорду пополам.
Итак, по условию BD = 1 см, а радиус окружности OB = 5 см. Значит, OD = 5 см.
Так как OD делит хорду AC пополам, то AD = DC = 5 см.
Теперь найдем длину всей хорды AC. По теореме пифагора в прямоугольном треугольнике ADO:
AD^2 + OD^2 = AO^2 5^2 + 5^2 = AO^2 25 + 25 = AO^2 50 = AO^2 AO = √50 = 5√2 см
Так как хорда AC равна двойному отрезку AO, то AC = 2 * 5√2 = 10√2 см.
Итак, длина хорды AC равна 10√2 см.
