Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для 2-го - 0,8; для 3-го - 0,75.Найти вероятность того, что за смену : а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребуют внимания ; в) только 3 станок потребует внимания рабочего;
Давайте разберем каждую часть задачи по порядку, используя теорию вероятностей.
Для этого нам нужно рассмотреть три случая: первый станок требует внимания, а второй и третий нет; второй требует внимания, а первый и третий нет; третий требует внимания, а первый и второй нет.
Вероятность того, что первый станок потребует внимания, а второй и третий нет: [ P(A_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) = P(A_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(\bar{A}_3) = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.75 = 0.06 ]
Вероятность того, что второй станок потребует внимания, а первый и третий нет: [ P(\bar{A}_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A}_3) = 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.75 = 0.135 ]
Вероятность того, что третий станок потребует внимания, а первый и второй нет: [ P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.25 = 0.18 ]
Суммируя все три вероятности, получаем вероятность того, что только один станок потребует внимания: [ P(\text{только один станок требует внимания}) = 0.06 + 0.135 + 0.18 = 0.375 ]
Для этого проще использовать противоположное событие — ни один станок не потребует внимания, и вычесть его вероятность из единицы.
Вероятность того, что ни один станок не потребует внимания: [ P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(\bar{A}_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.75 = 0.54 ]
Следовательно, вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания: [ P(\text{хотя бы один станок требует внимания}) = 1 - P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) = 1 - 0.54 = 0.46 ]
Для этого нам нужно учитывать, что первый и второй станки не требуют внимания, а третий требует:
[ P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.25 = 0.18 ]
Таким образом, вероятности для различных сценариев будут следующими: а) Вероятность того, что только один станок потребует внимания: 0.375. б) Вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания: 0.46. в) Вероятность того, что только третий станок потребует внимания: 0.18.
а) Вероятность того, что только один станок потребует внимания рабочего равна: 0.9 0.2 0.25 + 0.1 0.8 0.25 + 0.1 0.2 0.75 = 0.045 + 0.02 + 0.015 = 0.08
б) Вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания рабочего равна: 1 - вероятность того, что ни один станок не потребует внимания рабочего, то есть: 1 - (0.9 0.8 0.75) = 1 - 0.54 = 0.46
в) Вероятность того, что только 3 станок потребует внимания рабочего равна: 0.1 0.2 0.75 = 0.015
а) Для того чтобы только один станок потребовал внимания рабочего, нужно учесть все возможные комбинации, когда только один станок нуждается в обслуживании, а два других не нуждаются.
Вероятность того, что только первый станок нуждается в обслуживании: 0.9 0.2 0.25 = 0.045 Вероятность того, что только второй станок нуждается в обслуживании: 0.1 0.8 0.25 = 0.02 Вероятность того, что только третий станок нуждается в обслуживании: 0.1 0.2 0.75 = 0.015
Итак, общая вероятность того, что только один станок потребует внимания: 0.045 + 0.02 + 0.015 = 0.08
б) Для того чтобы хотя бы один станок потребовал внимания, можно рассмотреть обратное событие - вероятность того, что ни один станок не потребует внимания и вычесть ее из 1.
Вероятность того, что ни один станок не потребует внимания: 0.1 0.2 0.25 = 0.005 Вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания: 1 - 0.005 = 0.995
в) Вероятность того, что только третий станок потребует внимания рабочего: 0.1 0.2 0.75 = 0.015
