Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле, стрельба ведется...

Для решения этой задачи нам нужно определить вероятности того, что попадание произойдет на конкретном выстреле.

Пусть X - число выстрелов до первого попадания в мишень. Тогда закон распределения числа произведенных выстрелов можно записать в виде:

P$X=1$ = 0.8, так как вероятность попадания с первого выстрела равна 0.8 P$X=2$ = 0.2 0.8, так как вероятность промаха на первом выстреле равна 0.2 и попадания на втором выстреле равна 0.8 P$X=3$ = 0.2 0.2 0.8, аналогично предыдущему случаю P$X=4$ = 0.2 0.2 0.2 0.8

Таким образом, закон распределения числа произведенных выстрелов будет следующим: P$X=1$ = 0.8 P$X=2$ = 0.16 P$X=3$ = 0.032 P$X=4$ = 0.0064

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 = 0.9984

Так как сумма вероятностей не равна 1, нужно добавить вероятность того, что попадание произойдет на пятом выстреле: P$X=5$ = 0.2 0.2 0.2 * 0.2 = 0.0016

Теперь сумма всех вероятностей равна 1: 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 + 0.0016 = 1

Таким образом, закон распределения числа произведенных выстрелов будет: P$X=1$ = 0.8 P$X=2$ = 0.16 P$X=3$ = 0.032 P$X=4$ = 0.0064 P$X=5$ = 0.0016

Закон распределения числа произведенных выстрелов будет следующим: P$X=1$ = 0.8, P$X=2$ = 0.2 0.8, P$X=3$ = 0.2^2 0.8, P$X=4$ = 0.2^3 * 0.8.

Для решения задачи найдем закон распределения случайной величины $X$, обозначающей число произведенных выстрелов до первого попадания в мишень, но не более четырех выстрелов.

Вероятности

1. Вероятность, что попадание произойдет на первом выстреле: $P(X=1)=0.8$

2. Вероятность, что попадание произойдет на втором выстреле: Для этого необходимо, чтобы первый выстрел был промахом, а второй — попаданием. $P(X=2)=(1-0.8)\times 0.8=0.2\times 0.8=0.16$

3. Вероятность, что попадание произойдет на третьем выстреле: Для этого необходимо, чтобы первые два выстрела были промахами, а третий — попаданием. $P(X=3)=(1-0.8)\times (1-0.8)\times 0.8=0.2\times 0.2\times 0.8=0.032$

4. Вероятность, что попадания не будет в первые три выстрела, а произойдет на четвертом: Для этого необходимо, чтобы первые три выстрела были промахами, а четвертый — попаданием. $P(X=4)=(1-0.8)\times (1-0.8)\times (1-0.8)\times 0.8=0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.8=0.0064$

5. Вероятность, что попадания не будет ни в одном из четырех выстрелов: $P(X=5)=(1-0.8)\times (1-0.8)\times (1-0.8)\times (1-0.8)=0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2=0.0016$

Закон распределения

С учетом всех вероятностей, закон распределения случайной величины $X$ можно записать следующим образом:

$\text{Misplaced hline}$

Здесь $X=5$ означает, что было произведено 4 выстрела, и ни один из них не попал в мишень.

Проверка нормировки

Для проверки, что все вероятности суммируются до 1, сложим их:

$P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.8+0.16+0.032+0.0064+0.0016=1$

Итог

Таким образом, мы получили закон распределения числа произведенных выстрелов $X$:

$\text{Misplaced hline}$

Этот закон распределения показывает вероятности того, сколько выстрелов потребуется для первого попадания в мишень или что попадание не произойдет вовсе в пределах четырех выстрелов.