Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле, стрельба ведется...

Для решения этой задачи нам нужно определить вероятности того, что попадание произойдет на конкретном выстреле.

Пусть X - число выстрелов до первого попадания в мишень. Тогда закон распределения числа произведенных выстрелов можно записать в виде:

P(X=1) = 0.8, так как вероятность попадания с первого выстрела равна 0.8 P(X=2) = 0.2 0.8, так как вероятность промаха на первом выстреле равна 0.2 и попадания на втором выстреле равна 0.8 P(X=3) = 0.2 0.2 0.8, аналогично предыдущему случаю P(X=4) = 0.2 0.2 0.2 0.8

Таким образом, закон распределения числа произведенных выстрелов будет следующим: P(X=1) = 0.8 P(X=2) = 0.16 P(X=3) = 0.032 P(X=4) = 0.0064

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 = 0.9984

Так как сумма вероятностей не равна 1, нужно добавить вероятность того, что попадание произойдет на пятом выстреле: P(X=5) = 0.2 0.2 0.2 * 0.2 = 0.0016

Теперь сумма всех вероятностей равна 1: 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 + 0.0016 = 1

Таким образом, закон распределения числа произведенных выстрелов будет: P(X=1) = 0.8 P(X=2) = 0.16 P(X=3) = 0.032 P(X=4) = 0.0064 P(X=5) = 0.0016

Закон распределения числа произведенных выстрелов будет следующим: P(X=1) = 0.8, P(X=2) = 0.2 0.8, P(X=3) = 0.2^2 0.8, P(X=4) = 0.2^3 * 0.8.

Для решения задачи найдем закон распределения случайной величины ( X ), обозначающей число произведенных выстрелов до первого попадания в мишень, но не более четырех выстрелов.

Вероятности

1. Вероятность, что попадание произойдет на первом выстреле: [ P(X = 1) = 0.8 ]

2. Вероятность, что попадание произойдет на втором выстреле: Для этого необходимо, чтобы первый выстрел был промахом, а второй — попаданием. [ P(X = 2) = (1 - 0.8) \times 0.8 = 0.2 \times 0.8 = 0.16 ]

3. Вероятность, что попадание произойдет на третьем выстреле: Для этого необходимо, чтобы первые два выстрела были промахами, а третий — попаданием. [ P(X = 3) = (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) \times 0.8 = 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.032 ]

4. Вероятность, что попадания не будет в первые три выстрела, а произойдет на четвертом: Для этого необходимо, чтобы первые три выстрела были промахами, а четвертый — попаданием. [ P(X = 4) = (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) \times 0.8 = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.0064 ]

5. Вероятность, что попадания не будет ни в одном из четырех выстрелов: [ P(X = 5) = (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) \times (1 - 0.8) = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.0016 ]

Закон распределения

С учетом всех вероятностей, закон распределения случайной величины ( X ) можно записать следующим образом:

[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \ \hline 1 & 0.8 \ 2 & 0.16 \ 3 & 0.032 \ 4 & 0.0064 \ 5 & 0.0016 \ \end{array} ]

Здесь ( X = 5 ) означает, что было произведено 4 выстрела, и ни один из них не попал в мишень.

Проверка нормировки

Для проверки, что все вероятности суммируются до 1, сложим их:

[ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 + 0.0016 = 1 ]

Итог

Таким образом, мы получили закон распределения числа произведенных выстрелов ( X ):

[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \ \hline 1 & 0.8 \ 2 & 0.16 \ 3 & 0.032 \ 4 & 0.0064 \ 5 & 0.0016 \ \end{array} ]

Этот закон распределения показывает вероятности того, сколько выстрелов потребуется для первого попадания в мишень или что попадание не произойдет вовсе в пределах четырех выстрелов.