Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 4 даёт в остатке 1 и...

Чтобы найти трёхзначное натуральное число, которое при делении на 3 и на 4 даёт в остатке 1, и цифры которого больше 4, следуем следующим шагам:

1. Условия делимости и остатки:

   • Число ( n ) при делении на 3 даёт остаток 1: ( n \equiv 1 \pmod{3} ).
   • Число ( n ) при делении на 4 даёт остаток 1: ( n \equiv 1 \pmod{4} ).

2. Совместимость условий:

   • Нам нужно найти число, удовлетворяющее системе: [ \begin{cases} n \equiv 1 \pmod{3} \ n \equiv 1 \pmod{4} \end{cases} ]
   • Объединяя условия, получаем, что: [ n \equiv 1 \pmod{12} ]
   • Это означает, что ( n = 12k + 1 ) для некоторого целого ( k ).

3. Ограничения на цифры:

   • Цифры числа должны быть больше 4, то есть каждая цифра должна быть от 5 до 9.

4. Поиск подходящего числа:

   • Рассмотрим возможные трёхзначные числа, которые могут быть записаны в виде ( n = 12k + 1 ) и состоят из цифр 5, 6, 7, 8 или 9.
   • Проверим числовой диапазон от 555 до 999, так как это единственные трёхзначные числа, удовлетворяющие условию по цифрам.

5. Пример решения:

   • Начнём с числа 577:
     • Проверяем делимость: ( 577 \div 12 = 48 ) остаток 1.
     • Проверяем каждую цифру: 5, 7, и 7 все больше 4.

Таким образом, 577 — это подходящее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Для того чтобы найти такое число, мы можем просто перебирать трехзначные числа, начиная с 105 (потому что это наименьшее трехзначное число, где цифры больше 4) и проверять их на условия задачи.

105 подходит, так как 105 делится на 3 без остатка, а при делении на 4 даёт в остатке 1.

Таким образом, примером трехзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4, является число 105.