Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 13, отсекает треугольник, периметр которого равен 23. Найдите периметр трапеции.
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 13, отсекает треугольник, периметр которого равен 23. Найдите периметр трапеции.
Для решения задачи используем свойства подобия фигур и свойство параллельности линий.
Пусть (ABCD) — трапеция с основаниями (AB) и (CD), где (AB) — меньшее основание, и (AB = 13). Проведем прямую через точку (A), параллельную боковой стороне (BC), которая встречает продолжение противоположной боковой стороны (AD) в точке (E). Полученный треугольник (ABE) подобен треугольнику (BCD), образованному боковыми сторонами трапеции и большим основанием.
По условию, периметр треугольника (ABE) равен 23. Периметр этого треугольника включает в себя стороны (AB = 13), (AE) и (BE). Обозначим (AE = x) и (BE = y).
Поскольку треугольники (ABE) и (BCD) подобны, отношение соответствующих сторон равно отношению их подобия (k), которое также равно отношению оснований трапеции. Пусть (CD = m). Тогда (k = \frac{m}{13}).
Стороны (BC) и (AD) трапеции также соотносятся как (k), то есть (BC = k \cdot y) и (AD = k \cdot x). Также (BE = y = k \cdot AB = 13k).
Так как (ABE) и (BCD) подобны, и (AB = 13), (CD = m), то (y = 13k), (x = 13k), откуда (k = \frac{y}{13}). Так как (m = 13k), то (m = 13 \cdot \frac{y}{13} = y).
Периметр треугольника (ABE) равен (13 + x + y = 13 + 13k + 13k = 13 + 26k = 23). Отсюда (26k = 23 - 13 = 10), и (k = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}).
Таким образом, (y = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5). Тогда (m = y = 5).
Периметр трапеции (ABCD) будет равен (AB + BC + CD + DA = 13 + 5k + 5 + 13k = 13 + 5 \cdot \frac{5}{13} + 5 + 13 \cdot \frac{5}{13}). Подставляя значение (k), получаем: ( = 13 + 5 \cdot \frac{5}{13} + 5 + 13 \cdot \frac{5}{13} = 13 + 1.923 + 5 + 5 = 24.923).
Таким образом, периметр трапеции приблизительно равен 25 (округляя до целых).
Обозначим длину оснований трапеции как ( a ) и ( b ), а высоту трапеции как ( h ). Так как прямая проведена параллельно боковой стороне трапеции, то треугольник, который она отсекает, будет подобен верхнему треугольнику трапеции.
Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
[ \frac{h}{b} = \frac{h}{a} = \frac{h + 23}{13} ]
Отсюда мы можем найти, что ( a = \frac{13h}{h + 23} ) и ( b = \frac{13h}{h + 23} ).
Периметр трапеции равен сумме всех сторон, то есть:
[ P = a + b + 13 + 13 = \frac{13h}{h + 23} + \frac{13h}{h + 23} + 13 + 13 = \frac{26h + 26h + 26h + 299}{h + 23} ]
[ P = \frac{52h + 299}{h + 23} ]
Таким образом, периметр трапеции равен ( \frac{52h + 299}{h + 23} ).
