Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 13,...

Для решения задачи используем свойства подобия фигур и свойство параллельности линий.

1. Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $CD$, где $AB$ — меньшее основание, и $AB=13$. Проведем прямую через точку $A$, параллельную боковой стороне $BC$, которая встречает продолжение противоположной боковой стороны $AD$ в точке $E$. Полученный треугольник $ABE$ подобен треугольнику $BCD$, образованному боковыми сторонами трапеции и большим основанием.

2. По условию, периметр треугольника $ABE$ равен 23. Периметр этого треугольника включает в себя стороны $AB=13$, $AE$ и $BE$. Обозначим $AE=x$ и $BE=y$.

3. Поскольку треугольники $ABE$ и $BCD$ подобны, отношение соответствующих сторон равно отношению их подобия $k$, которое также равно отношению оснований трапеции. Пусть $CD=m$. Тогда $k=\frac{m}{13}$.

4. Стороны $BC$ и $AD$ трапеции также соотносятся как $k$, то есть $BC=k\cdot y$ и $AD=k\cdot x$. Также $BE=y=k\cdot AB=13k$.

5. Так как $ABE$ и $BCD$ подобны, и $AB=13$, $CD=m$, то $y=13k$, $x=13k$, откуда $k=\frac{y}{13}$. Так как $m=13k$, то $m=13\cdot \frac{y}{13}=y$.

6. Периметр треугольника $ABE$ равен $13+x+y=13+13k+13k=13+26k=23$. Отсюда $26k=23-13=10$, и $k=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$.

7. Таким образом, $y=13\cdot \frac{5}{13}=5$. Тогда $m=y=5$.

8. Периметр трапеции $ABCD$ будет равен $AB+BC+CD+DA=13+5k+5+13k=13+5\cdot \frac{5}{13}+5+13\cdot \frac{5}{13}$. Подставляя значение $k$, получаем: $=13+5\cdot \frac{5}{13}+5+13\cdot \frac{5}{13}=13+1.923+5+5=24.923$.

9. Таким образом, периметр трапеции приблизительно равен 25 $округляядоцелых$.

Обозначим длину оснований трапеции как $a$ и $b$, а высоту трапеции как $h$. Так как прямая проведена параллельно боковой стороне трапеции, то треугольник, который она отсекает, будет подобен верхнему треугольнику трапеции.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

$\frac{h}{b}=\frac{h}{a}=\frac{h+23}{13}$

Отсюда мы можем найти, что $a=\frac{13h}{h+23}$ и $b=\frac{13h}{h+23}$.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон, то есть:

$P=a+b+13+13=\frac{13h}{h+23}+\frac{13h}{h+23}+13+13=\frac{26h+26h+26h+299}{h+23}$

$P=\frac{52h+299}{h+23}$

Таким образом, периметр трапеции равен $\frac{52h+299}{h+23}$.