Постройте график функции у = х2 - 6х + 5. Найдите с помощью графика:а) значение у при х = 0,5; б) значения...

Для построения графика функции $y=x^2-6x+5$, сначала определим её ключевые характеристики и точки.

1. Вершина параболы

Функция представляет собой параболу, вершина которой находится в точке $x=-\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1,b=-6$, следовательно: $x=-\frac{-6}{2\times 1}=3$ Подставляем $x=3$ в функцию для нахождения $y$: $y=3^2-6\times 3+5=9-18+5=-4$ Вершина параболы находится в точке $3,-4$.

2. Нули функции

Найдем корни уравнения $x^2-6x+5=0$ через дискриминант: $D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\times 1\times 5=36-20=16$ $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm 4}{2}$ $x_1=5,x_2=1$ Нули функции – это точки $1,0$ и $5,0$.

3. Промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на промежутке $x\in [3,+\mathrm{\infty }$ ) и убывает на промежутке $x\in (-\mathrm{\infty },3]$.

4. Значения функции

а) При $x=0.5$: $y=(0.5{)}^2-6\times 0.5+5=0.25-3+5=2.25$ б) Найдем $x$, при котором $y=-1$: $x^2-6x+5=-1$ $x^2-6x+6=0$ $D=36-24=12$ $x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{2}=3\pm \sqrt{3}$ Таким образом, $x\approx 3-\sqrt{3}$ или $x\approx 3+\sqrt{3}$, что приблизительно равно 1,268 и 4,732.

5. Промежутки знакопостоянства функции

Функция положительна $(y>0$ ) на промежутках $(-\mathrm{\infty },1$ \cup $5,+\mathrm{\infty }$ ) и отрицательна $(y<0$ ) на промежутке $(1,5$ ).

Таким образом, на основе анализа функции и её свойств мы можем построить график и ответить на все вопросы задачи.

Для построения графика функции y = x^2 - 6x + 5 можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha.

а) Чтобы найти значение y при x = 0.5, нужно подставить x = 0.5 в уравнение функции: y = $0.5$^2 - 6$0.5$ + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25

б) Чтобы найти значения x, при которых y = -1, нужно решить уравнение x^2 - 6x + 5 = -1: x^2 - 6x + 5 + 1 = 0 x^2 - 6x + 6 = 0 $x-3$^2 = 0 x = 3

в) Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для нахождения нулей функции решим уравнение x^2 - 6x + 5 = 0: $x-1$$x-5$ = 0 x = 1 или x = 5

Промежутки, в которых y > 0: $1,5$ и $5,\infty$ Промежутки, в которых y < 0: $-\infty ,1$

г) Функция y = x^2 - 6x + 5 возрастает на интервалах $-\infty ,3$ и $5,\infty$, так как коэффициент при x^2 положительный, что означает, что парабола направлена вверх.