Постройте график функции у = х2 - 6х + 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5; б) значения х, при которых у = -1;
в) нули функции; промежутки, в которых у 0 и в которых у
г) промежуток, на котором функция возрастает.
Постройте график функции у = х2 - 6х + 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5; б) значения х, при которых у = -1;
в) нули функции; промежутки, в которых у 0 и в которых у
г) промежуток, на котором функция возрастает.
Для построения графика функции ( y = x^2 - 6x + 5 ), сначала определим её ключевые характеристики и точки.
Функция представляет собой параболу, вершина которой находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Для данной функции ( a = 1, b = -6 ), следовательно: [ x = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3 ] Подставляем ( x = 3 ) в функцию для нахождения ( y ): [ y = 3^2 - 6 \times 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 ] Вершина параболы находится в точке (3, -4).
Найдем корни уравнения ( x^2 - 6x + 5 = 0 ) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2} ] [ x_1 = 5, x_2 = 1 ] Нули функции – это точки (1, 0) и (5, 0).
Функция возрастает на промежутке ( x \in [3, +\infty) ) и убывает на промежутке ( x \in (-\infty, 3] ).
а) При ( x = 0.5 ): [ y = (0.5)^2 - 6 \times 0.5 + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25 ] б) Найдем ( x ), при котором ( y = -1 ): [ x^2 - 6x + 5 = -1 ] [ x^2 - 6x + 6 = 0 ] [ D = 36 - 24 = 12 ] [ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} ] Таким образом, ( x \approx 3 - \sqrt{3} ) или ( x \approx 3 + \sqrt{3} ), что приблизительно равно 1,268 и 4,732.
Функция положительна ( ( y > 0 ) ) на промежутках ( (-\infty, 1) \cup (5, +\infty) ) и отрицательна ( ( y < 0 ) ) на промежутке ( (1, 5) ).
Таким образом, на основе анализа функции и её свойств мы можем построить график и ответить на все вопросы задачи.
Для построения графика функции y = x^2 - 6x + 5 можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha.
а) Чтобы найти значение y при x = 0.5, нужно подставить x = 0.5 в уравнение функции: y = (0.5)^2 - 6(0.5) + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25
б) Чтобы найти значения x, при которых y = -1, нужно решить уравнение x^2 - 6x + 5 = -1: x^2 - 6x + 5 + 1 = 0 x^2 - 6x + 6 = 0 (x - 3)^2 = 0 x = 3
в) Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для нахождения нулей функции решим уравнение x^2 - 6x + 5 = 0: (x - 1)(x - 5) = 0 x = 1 или x = 5
Промежутки, в которых y > 0: (1, 5) и (5, ∞) Промежутки, в которых y < 0: (-∞, 1)
г) Функция y = x^2 - 6x + 5 возрастает на интервалах (-∞, 3) и (5, ∞), так как коэффициент при x^2 положительный, что означает, что парабола направлена вверх.
