Постройте график функции у=(х^2 + 3х)|х|/х+3 и определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет...

Для построения графика функции у=(х^2 + 3х)|х|/х+3 мы можем разбить функцию на две части: одну для x >= 0 и другую для x < 0.

1. Для x >= 0: у=(х^2 + 3х)x/x+3 у=(х^2 + 3х)/(x+3) при x >= 0 у=(х(x + 3))/(x + 3) = x

2. Для x < 0: у=(х^2 + 3х)(-x)/x+3 у=(-х^2 - 3х)/(x+3) при x < 0 у=(-x(x + 3))/(x + 3) = -x

Таким образом, при x >= 0 график функции у=(х^2 + 3х)|х|/х+3 будет прямой y=x, а при x < 0 - прямой y=-x.

Теперь, чтобы определить значения m, при которых прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки, нужно найти значения m, которые не попадают в интервал значений функции у=(х^2 + 3х)|х|/х+3.

Так как функция разбивается на две части, нужно рассмотреть каждую из них отдельно:

1. Для x >= 0: у=(х^2 + 3х)x/x+3 = x Прямая у = m имеет с графиком функции общие точки, если m попадает в интервал значений функции, то есть m >= 0.

2. Для x < 0: у=(х^2 + 3х)(-x)/x+3 = -x Прямая у = m имеет с графиком функции общие точки, если m попадает в интервал значений функции, то есть m 0.

Давайте разберем предложенную функцию и определим, как построить ее график, а также при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) не пересекает график функции.

Функция задана как:

[ y = \frac{(x^2 + 3x) |x|}{x + 3} ]

Анализ функции

1. Разделение на случаи в зависимости от знака ( x ):

   • Для ( x > 0 ): Здесь (|x| = x), и функция становится: [ y = \frac{x(x^2 + 3x)}{x + 3} = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3} ]

   • Для ( x < 0 ): Здесь (|x| = -x), и функция становится: [ y = \frac{(-x)(x^2 + 3x)}{x + 3} = \frac{-x^3 - 3x^2}{x + 3} ]

2. Упрощение дробей:

   • Для ( x > 0 ): [ y = \frac{x^2(x + 3)}{x + 3} = x^2 \quad \text{при условии} \quad x \neq -3 ]

   • Для ( x < 0 ): [ y = \frac{-x^2(x + 3)}{x + 3} = -x^2 \quad \text{при условии} \quad x \neq -3 ]

3. Особые случаи:

   • При ( x = -3 ): Функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

Построение графика

График функции состоит из двух частей:

• Для ( x > 0 ): Это парабола ( y = x^2 ), но только для положительных ( x ).
• Для ( x < 0 ): Это парабола ( y = -x^2 ), но только для отрицательных ( x ).

В точке ( x = -3 ) функция не определена, что означает разрыв в графике.

Определение значений ( m )

Прямая ( y = m ) не будет иметь общих точек с графиком функции, если она не пересекает ни одну из частей парабол. Рассмотрим отдельно каждую часть.

• Для ( x > 0 ): График ( y = x^2 ) принимает все неотрицательные значения ( y ), т.е. ( y \geq 0 ). Следовательно, прямая ( y = m ) не пересечет график, если ( m < 0 ).

• Для ( x < 0 ): График ( y = -x^2 ) принимает все неположительные значения ( y ), т.е. ( y \leq 0 ). Следовательно, прямая ( y = m ) не пересечет график, если ( m > 0 ).

Таким образом, прямая ( y = m ) не будет иметь общих точек с графиком функции, если ( m < 0 ) или ( m > 0 ). Единственное значение, при котором прямая пересекает график, это ( m = 0 ), так как ось абсцисс пересекает обе параболы в точке ( x = 0 ).

Итог

Прямая ( y = m ) не имеет общих точек с графиком функции, если ( m \neq 0 ).