Постройте график функции у=${х}^2+3х$|х|/х+3 и определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет...

Для построения графика функции у=${х}^2+3х$|х|/х+3 мы можем разбить функцию на две части: одну для x >= 0 и другую для x < 0.

1. Для x >= 0: у=${х}^2+3х$x/x+3 у=${х}^2+3х$/$x+3$ при x >= 0 у=$х(x+3$)/$x+3$ = x

2. Для x < 0: у=${х}^2+3х$$-x$/x+3 у=$-{х}^2-3х$/$x+3$ при x < 0 у=$-x(x+3$)/$x+3$ = -x

Таким образом, при x >= 0 график функции у=${х}^2+3х$|х|/х+3 будет прямой y=x, а при x < 0 - прямой y=-x.

Теперь, чтобы определить значения m, при которых прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки, нужно найти значения m, которые не попадают в интервал значений функции у=${х}^2+3х$|х|/х+3.

Так как функция разбивается на две части, нужно рассмотреть каждую из них отдельно:

1. Для x >= 0: у=${х}^2+3х$x/x+3 = x Прямая у = m имеет с графиком функции общие точки, если m попадает в интервал значений функции, то есть m >= 0.

2. Для x < 0: у=${х}^2+3х$$-x$/x+3 = -x Прямая у = m имеет с графиком функции общие точки, если m попадает в интервал значений функции, то есть m 0.

Давайте разберем предложенную функцию и определим, как построить ее график, а также при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не пересекает график функции.

Функция задана как:

$y=\frac{(x^2+3x)|x|}{x+3}$

Анализ функции

1. Разделение на случаи в зависимости от знака $x$:

   • Для $x>0$: Здесь $|x|=x$, и функция становится: $y=\frac{x(x^2+3x)}{x+3}=\frac{x^3+3x^2}{x+3}$

   • Для $x<0$: Здесь $|x|=-x$, и функция становится: $y=\frac{(-x)(x^2+3x)}{x+3}=\frac{-x^3-3x^2}{x+3}$

2. Упрощение дробей:

   • Для $x>0$: $y=\frac{x^2(x+3)}{x+3}=x^2\text{при условии}x\ne -3$

   • Для $x<0$: $y=\frac{-x^2(x+3)}{x+3}=-x^2\text{при условии}x\ne -3$

3. Особые случаи:

   • При $x=-3$: Функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

Построение графика

График функции состоит из двух частей:

• Для $x>0$: Это парабола $y=x^2$, но только для положительных $x$.
• Для $x<0$: Это парабола $y=-x^2$, но только для отрицательных $x$.

В точке $x=-3$ функция не определена, что означает разрыв в графике.

Определение значений $m$

Прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком функции, если она не пересекает ни одну из частей парабол. Рассмотрим отдельно каждую часть.

• Для $x>0$: График $y=x^2$ принимает все неотрицательные значения $y$, т.е. $y\ge 0$. Следовательно, прямая $y=m$ не пересечет график, если $m<0$.

• Для $x<0$: График $y=-x^2$ принимает все неположительные значения $y$, т.е. $y\le 0$. Следовательно, прямая $y=m$ не пересечет график, если $m>0$.

Таким образом, прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком функции, если $m<0$ или $m>0$. Единственное значение, при котором прямая пересекает график, это $m=0$, так как ось абсцисс пересекает обе параболы в точке $x=0$.

Итог

Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком функции, если $m\ne 0$.