Постройте график функции у=х в квадрате - 3х + 2 и найдите: а) при каких значениях аргумента значения...

Рассмотрим функцию $y=x^2-3x+2$. Эта функция является квадратичной, и её график представляет собой параболу. Парабола открывается вверх, так как старший коэффициент $(a=1$) положителен.

1. Построение графика функции

Прежде чем ответить на вопросы, найдем ключевые элементы параболы:

а) Найдем корни уравнения

Для нахождения корней $точекпересеченияграфикасосью(Ox$) решим уравнение $y=0$, то есть: $x^2-3x+2=0.$ Разложим на множители: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$ Корни уравнения: $x_1=1,x_2=2.$

б) Найдем вершину параболы

Вершина параболы находится в точке: [ x\text{вершина} = -\frac{b}{2a}, ] где $a=1$, $b=-3$. Подставляем: [ x\text{вершина} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}. ] Найдем значение $y$ в вершине, подставив $x=\frac{3}{2}$ в уравнение функции: $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{3}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}+\frac{8}{4}=-\frac{1}{4}.$ Таким образом, вершина параболы имеет координаты: $(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}).$

в) Построим таблицу значений

Для построения графика найдём значения $y$ для нескольких $x$: $\text{Misplaced hline}$ Эти точки дополняем вершиной $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ) и симметричными относительно оси симметрии $(x=\frac{3}{2}$).

2. Найдём, где функция отрицательна $(y<0$)

Функция $y=x^2-3x+2$ отрицательна между корнями $x_1=1$ и $x_2=2$, так как парабола открывается вверх, а между корнями её значения ниже оси $Ox$.

Ответ: $y<0\text{при}x\in (1,2).$

3. Найдём промежутки возрастания функции

Функция возрастает там, где её производная положительна. Найдём производную: $y^{\prime }=2x-3.$ Решим неравенство $y^{\prime }>0$: $2x-3>0\Rightarrow x>\frac{3}{2}.$ Таким образом, функция возрастает на промежутке $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

Ответ: $\text{Функция возрастает при }x\in (\frac{3}{2},+\mathrm{\infty }).$

Итоговые ответы:

а) Значения функции $y$ отрицательны при $x\in (1,2$ ).
б) Функция возрастает на промежутке $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

Для построения графика функции $y=x^2-3x+2$ и анализа её свойств, начнём с определения корней уравнения, а затем исследуем знаки функции и её возрастание.

1. Находим корни функции

Функция представляет собой квадратное уравнение. Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта:

$D=b^2-4ac$

где $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Подставим значения:

$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения:

$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 1}{2}$

Это даёт два корня:

$x_1=\frac{4}{2}=2,x_2=\frac{2}{2}=1$

2. Анализ знаков функции

Квадратная функция $y=x^2-3x+2$ имеет параболическую форму, открывающуюся вверх. Корни $x_1=1$ и $x_2=2$ делят числовую ось на три интервала:

1. $(-\mathrm{\infty },1$ )
2. $(1,2$ )
3. $(2,+\mathrm{\infty }$ )

Теперь определим, где функция принимает отрицательные значения. В интервалах между корнями и вне их функция будет иметь следующие знаки:

• В интервале $(-\mathrm{\infty },1$ ) — значение функции положительное $например,подставим(x=0$: $y=0^2-3\cdot 0+2=2$).
• В интервале $(1,2$ ) — значение функции отрицательное $например,подставим(x=1.5$: $y=(1.5$^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 )).
• В интервале $(2,+\mathrm{\infty }$ ) — значение функции положительное $например,подставим(x=3$: $y=3^2-3\cdot 3+2=9-9+2=2$).

Таким образом, функция принимает отрицательные значения на интервале:

$(1,2)$

3. Промежутки возрастания функции

Чтобы определить промежутки возрастания функции, найдём её производную:

$y^{\prime }=2x-3$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2x-3=0⟹x=\frac{3}{2}=1.5$

Теперь, исследуем знаки производной на интервалах:

1. Для $x<1.5$ $например,(x=1$): $y^{\prime }=2\cdot 1-3=-1$ $функцияубывает$.
2. Для $x>1.5$ $например,(x=2$): $y^{\prime }=2\cdot 2-3=1$ $функциявозрастает$.

Таким образом, функция убывает на интервале $(-\mathrm{\infty },1.5$ ) и возрастает на интервале $(1.5,+\mathrm{\infty }$ ).

Ответы на вопросы:

а) Значения функции отрицательны на интервале $(1,2$ ).

б) Функция возрастает на интервале $(1.5,+\mathrm{\infty }$ ).