Построить векторы AB и CD и найти угол между ними, если A (3;1), B (7;4), C (3;2), D (6;6)

Чтобы найти угол между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ), сначала нужно построить эти векторы и затем использовать формулу для вычисления угла между ними.

Шаг 1: Построение векторов

1. Вектор ( \overrightarrow{AB} ):

   • Координаты точки A: ( (3, 1) )
   • Координаты точки B: ( (7, 4) )

   Вектор ( \overrightarrow{AB} ) можно найти как разность координат точки B и точки A: [ \overrightarrow{AB} = (7 - 3, 4 - 1) = (4, 3) ]

2. Вектор ( \overrightarrow{CD} ):

   • Координаты точки C: ( (3, 2) )
   • Координаты точки D: ( (6, 6) )

   Вектор ( \overrightarrow{CD} ) можно найти как разность координат точки D и точки C: [ \overrightarrow{CD} = (6 - 3, 6 - 2) = (3, 4) ]

Шаг 2: Нахождение угла между векторами

Угол ( \theta ) между двумя векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) можно найти с помощью скалярного произведения и нормы векторов. Формула для нахождения косинуса угла между векторами:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} ]

Скалярное произведение ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} ):

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (4 \cdot 3) + (3 \cdot 4) = 12 + 12 = 24 ]

Длина векторов:

1. Норма вектора ( \overrightarrow{AB} ): [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Норма вектора ( \overrightarrow{CD} ): [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Подставим значения в формулу:

[ \cos \theta = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} ]

Теперь найдём угол ( \theta ):

[ \theta = \arccos\left(\frac{24}{25}\right) ]

Для нахождения точного значения угла в градусах или радианах используйте калькулятор или программное обеспечение, поддерживающее тригонометрические функции.

Итак, угол между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) равен ( \arccos\left(\frac{24}{25}\right) ), что приблизительно равно ( 16.26^\circ ).

Для построения векторов AB и CD мы можем использовать формулу для нахождения вектора по двум точкам:

AB = B - A = (7-3; 4-1) = (4; 3) CD = D - C = (6-3; 6-2) = (3; 4)

Теперь нам нужно найти угол между этими векторами. Для этого воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|)

где AB * CD - скалярное произведение векторов, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

AB CD = 43 + 3*4 = 12 + 12 = 24 |AB| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 |CD| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 24 / (5 * 5) = 24 / 25

Угол θ можно найти, взяв обратный косинус от полученного значения:

θ = arccos(24 / 25)

Посчитаем значение угла θ:

θ ≈ arccos(0.96) ≈ 15.21 градусов

Таким образом, угол между векторами AB и CD составляет примерно 15.21 градуса.