Помогите сократить дробь:
х^3+2х^2-9х-18/(х-3)(х+2)
Помогите сократить дробь:
х^3+2х^2-9х-18/(х-3)(х+2)
Для того чтобы сократить дробь (\frac{x^3 + 2x^2 - 9x - 18}{(x-3)(x+2)}), начнём с разложения числителя на множители.
Попробуем подставить значения (x = 3) и (x = -2) (корни знаменателя), чтобы увидеть, обнуляют ли они числитель:
Оба значения обнуляют числитель, значит (x - 3) и (x + 2) являются множителями числителя.
Теперь разложим числитель: Используем схему Горнера или деление многочлена на двучлены чтобы найти оставшийся множитель: [ (x^3 + 2x^2 - 9x - 18) \div (x - 3) = x^2 + 5x + 6 ] Далее разложим (x^2 + 5x + 6) на множители: [ x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) ]
Таким образом, разложение числителя выглядит следующим образом: [ x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x - 3)(x + 2)(x + 3) ]
Подставим разложение в исходную дробь: [ \frac{x^3 + 2x^2 - 9x - 18}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} ]
Сократим множители (x - 3) и (x + 2): [ \frac{(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = x + 3 ]
Итак, сокращённая форма данной дроби — (x + 3).
Для сокращения данной дроби можно воспользоваться методом деления многочленов или методом неизвестных коэффициентов.
1) Метод деления многочленов: Делим многочлен х^3 + 2х^2 - 9х - 18 на (х-3)(х+2) с помощью долгого деления или синтетического деления. После деления получим результат:
x^2 + 5x + 6
2) Метод неизвестных коэффициентов: Представляем дробь в виде суммы простых дробей: (x^3 + 2x^2 - 9x - 18) / ((x - 3)(x + 2)) = A / (x - 3) + B / (x + 2)
Решаем уравнение и находим коэффициенты A и B: x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = A(x + 2) + B(x - 3) x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (A + B)x + 2A - 3B
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: A + B = 1 2A - 3B = -9
Решаем систему уравнений и находим значения A и B. После этого представляем исходную дробь в виде суммы простых дробей и сокращаем.
Итак, после сокращения дробь будет равна x^2 + 5x + 6.
