Помогите сократить дробь: х^3+2х^2-9х-18/$х-3$$х+2$

Для того чтобы сократить дробь $\frac{x^3+2x^2-9x-18}{(x-3)(x+2)}$, начнём с разложения числителя на множители.

1. Рассмотрим полином в числителе: $x^3+2x^2-9x-18$.

2. Попробуем подставить значения $x=3$ и $x=-2$ $корнизнаменателя$, чтобы увидеть, обнуляют ли они числитель:

   • $x=3$: $3^3+2\cdot 3^2-9\cdot 3-18=27+18-27-18=0$
   • $x=-2$: $(-2$^3 + 2 \cdot $-2$^2 - 9 \cdot $-2$ - 18 = -8 + 8 + 18 - 18 = 0)

   Оба значения обнуляют числитель, значит $x-3$ и $x+2$ являются множителями числителя.

3. Теперь разложим числитель: Используем схему Горнера или деление многочлена на двучлены чтобы найти оставшийся множитель: $(x^3+2x^2-9x-18)÷(x-3)=x^2+5x+6$ Далее разложим $x^2+5x+6$ на множители: $x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$

4. Таким образом, разложение числителя выглядит следующим образом: $x^3+2x^2-9x-18=(x-3)(x+2)(x+3)$

5. Подставим разложение в исходную дробь: $\frac{x^3+2x^2-9x-18}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x-3)(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+2)}$

6. Сократим множители $x-3$ и $x+2$: $\frac{(x-3)(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=x+3$

Итак, сокращённая форма данной дроби — $x+3$.

Для сокращения данной дроби можно воспользоваться методом деления многочленов или методом неизвестных коэффициентов.

1) Метод деления многочленов: Делим многочлен х^3 + 2х^2 - 9х - 18 на $х-3$$х+2$ с помощью долгого деления или синтетического деления. После деления получим результат:

x^2 + 5x + 6

2) Метод неизвестных коэффициентов: Представляем дробь в виде суммы простых дробей: $x^3+2x^2-9x-18$ / $(x-3$$x+2$) = A / $x-3$ + B / $x+2$

Решаем уравнение и находим коэффициенты A и B: x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = A$x+2$ + B$x-3$ x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = $A+B$x + 2A - 3B

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: A + B = 1 2A - 3B = -9

Решаем систему уравнений и находим значения A и B. После этого представляем исходную дробь в виде суммы простых дробей и сокращаем.

Итак, после сокращения дробь будет равна x^2 + 5x + 6.