Помогите пожалуйста определить, являются ли заданные события независимыми: Производится бросание двух...

Чтобы определить, являются ли заданные события независимыми, нам нужно проверить независимость попарно для каждой пары событий. События считаются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей.

Рассмотрим каждое из событий:

1. Событие A: на первой кости выпало нечётное число очков. Возможные нечётные числа на стандартной шестигранной кости — 1, 3 и 5. Вероятность события A, ( P(A) ), равна числу благоприятных исходов делённому на общее количество исходов:
   [ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

2. Событие B: на второй кости выпало нечётное число очков. Аналогично событию A, вероятность события B, ( P(B) ), также равна: [ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

3. Событие C: сумма очков — нечётна. Сумма двух чисел будет нечётной, если одно из них нечётно, а другое чётно. Вероятность события C можно рассчитать, учитывая, что у нас есть две возможности: первая кость даёт нечётный результат, а вторая — чётный, и наоборот.

   • Первая кость нечётная (вероятность ( \frac{1}{2} )), вторая чётная (вероятность ( \frac{1}{2} )):
     [ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ]

   • Первая кость чётная (вероятность ( \frac{1}{2} )), вторая нечётная (вероятность ( \frac{1}{2} )):
     [ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ]

   Поэтому общая вероятность события C: [ P(C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ]

Теперь проверим независимость попарно для каждой пары событий:

1. A и B:
   Вероятность пересечения событий A и B, то есть оба числа нечётные, равна: [ P(A \cap B) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} ] Произведение вероятностей: [ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ] Так как ( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) ), события A и B независимы.

2. A и C:
   Вероятность пересечения событий A и C, то есть первая кость нечётная и сумма нечётна, равна:

   • Первая кость нечётная, вторая чётная: [ P(A \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ] Произведение вероятностей: [ P(A) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ] Так как ( P(A \cap C) = P(A) \times P(C) ), события A и C независимы.

3. B и C:
   Вероятность пересечения событий B и C, то есть вторая кость нечётная и сумма нечётна, равна:

   • Вторая кость нечётная, первая чётная: [ P(B \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ] Произведение вероятностей: [ P(B) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ] Так как ( P(B \cap C) = P(B) \times P(C) ), события B и C независимы.

Таким образом, все три пары событий (A и B, A и C, B и C) являются независимыми.

Для того чтобы определить, являются ли события A, B и C независимыми, нужно проверить выполнение условия независимости событий.

События A и B независимы, так как выпадение нечётного числа на первой кости не влияет на выпадение нечётного числа на второй кости.

События A и C также независимы, так как выпадение нечётного числа на первой кости не влияет на то, что сумма очков будет нечётной.

События B и C также независимы, так как выпадение нечётного числа на второй кости не влияет на то, что сумма очков будет нечётной.

Таким образом, события A, B и C являются попарно независимыми.

События A и B являются независимыми, так как результат бросания одной кости не влияет на результат бросания другой кости. События A и C также независимы, так как вероятность выпадения нечетного числа на одной кости не зависит от суммы очков. Однако события B и C зависимы, так как нечетное число на второй кости может влиять на нечетную сумму очков.