Помогите пожалуйста Даны векторы a{6;-2;-4}b{-3;2;-4} a)Будут ли коллинеарными векторы c=2a-4b и d=a-2b...

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов, связанных с операциями над векторами, такими как умножение на скаляр, сложение и вычитание векторов, а также проверка коллинеарности и вычисление модуля вектора.

Шаг 1: Найти векторы c и d

Вектор ( c = 2a - 4b ): [ a = {6, -2, -4} ] [ b = {-3, 2, -4} ]

Умножим вектор ( a ) на 2: [ 2a = {2 \cdot 6, 2 \cdot (-2), 2 \cdot (-4)} = {12, -4, -8} ]

Умножим вектор ( b ) на 4: [ 4b = {4 \cdot (-3), 4 \cdot 2, 4 \cdot (-4)} = {-12, 8, -16} ]

Теперь найдем вектор ( c ): [ c = 2a - 4b = {12, -4, -8} - {-12, 8, -16} = {12 + 12, -4 - 8, -8 + 16} = {24, -12, 8} ]

Вектор ( d = a - 2b ): Умножим вектор ( b ) на 2: [ 2b = {2 \cdot (-3), 2 \cdot 2, 2 \cdot (-4)} = {-6, 4, -8} ]

Теперь найдем вектор ( d ): [ d = a - 2b = {6, -2, -4} - {-6, 4, -8} = {6 + 6, -2 - 4, -4 + 8} = {12, -6, 4} ]

Шаг 2: Проверка коллинеарности векторов ( c ) и ( d )

Векторы ( c ) и ( d ) коллинеарны, если существует такое число ( k ), что ( c = k \cdot d ). Проверим, можно ли выразить вектор ( c ) через вектор ( d ).

[ c = {24, -12, 8} ] [ d = {12, -6, 4} ]

Для этого найдем отношение соответствующих компонент: [ \frac{24}{12} = 2 ] [ \frac{-12}{-6} = 2 ] [ \frac{8}{4} = 2 ]

Так как все отношения равны, то ( c = 2 \cdot d ). Это означает, что векторы ( c ) и ( d ) коллинеарны.

Шаг 3: Вычисление ( |2c - 3d| )

Сначала найдем вектор ( 2c ): [ 2c = 2 \cdot {24, -12, 8} = {48, -24, 16} ]

Затем найдем вектор ( 3d ): [ 3d = 3 \cdot {12, -6, 4} = {36, -18, 12} ]

Теперь найдем разность векторов ( 2c ) и ( 3d ): [ 2c - 3d = {48, -24, 16} - {36, -18, 12} = {48 - 36, -24 - (-18), 16 - 12} = {12, -6, 4} ]

Теперь вычислим модуль вектора ( 2c - 3d ): [ |2c - 3d| = \sqrt{12^2 + (-6)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 36 + 16} = \sqrt{196} = 14 ]

Ответы:

а) Векторы ( c ) и ( d ) будут коллинеарными.

б) ( |2c - 3d| = 14 ).

a) Для того чтобы определить, будут ли векторы c=2a-4b и d=a-2b коллинеарными, нужно проверить, равны ли они с точностью до умножения на число. Для этого найдем коэффициент k, при котором c=kd: c = 2a - 4b = k d = k(a - 2b) Раскроем скобки: 2a - 4b = ka - 2kb Сгруппируем подобные члены: (2 - k)a + (4 - 2k)b = 0 Теперь сравним коэффициенты при a и b: 2 - k = 0 4 - 2k = 0 Из первого уравнения находим, что k = 2, подставляем во второе уравнение: 4 - 22 = 0 4 - 4 = 0 0 = 0 Таким образом, векторы c и d коллинеарны.

б) Теперь вычислим |2c-3d|: 2c - 3d = 2(2a - 4b) - 3(a - 2b) Умножаем и раскрываем скобки: 4a - 8b - 3a + 6b = a - 2b Сгруппируем подобные члены: 4a - 3a - 8b + 6b = a - 2b a - 2b = a - 2b |2c-3d| = |a - 2b| |2c-3d| = √(a^2 + (-2b)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Итак, |2c-3d| = 2√10

a) Векторы c и d будут коллинеарными, если они будут пропорциональными. Для этого нужно проверить, можно ли один вектор получить из другого умножением на константу.

b) |2c-3d| = |2(2a-4b) - 3(a-2b)| = |4a - 8b - 3a + 6b| = |a - 2b| = √((1)^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5.