Отрезок AB не пересекается с плоскостью а. Через концы отрезка AB и его середину $точкуМ$ проведены...

Часть а)

Докажем, что точки A1, B1 и M1 лежат на одной прямой. Поскольку прямые, проходящие через A, B, M и пересекающие плоскость α в точках A1, B1, M1 соответственно, параллельны друг другу, рассмотрим следующее.

1. Прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость, образуют в плоскости параллельные прямые или совпадают.
2. Так как точка M является серединой отрезка AB, то можно утверждать, что параллельные прямые, проведенные через точки A и B, пересекают плоскость в точках A1 и B1 так, что точка M1 $пересечениепрямойчерезM$ лежит на прямой A1B1. Это следует из свойства параллелизма и равенства отрезков, так как M – середина AB, а прямая через M параллельна прямым через A и B.
3. Поэтому, точки A1, B1 и M1 лежат на одной прямой.

Часть б)

Найдем длину AA1. Используем свойство подобия треугольников. Если рассмотреть треугольники AAM1 и BBM1, то они подобны, так как их соответствующие стороны параллельны $AA1параллельноBB1,AM1параллельноBM1,иA1M1параллельноB1M1$.

Поскольку точка M является серединой AB, расстояние AM равно BM, а значит и AM1 равно BM1. Таким образом, треугольники AAM1 и BBM1 являются равнобедренными и пропорциональными.

Так как BB1 = 12 см и MM1 = 8 см, отношение BB1 к MM1 составляет: $\frac{BB1}{MM1}=\frac{12}{8}=1.5$

Поскольку треугольники подобны, то и отношение AA1 к MM1 должно быть таким же: $\frac{AA1}{MM1}=1.5$ Отсюда: $AA1=1.5\times MM1=1.5\times 8=12\text{ см}$

Таким образом, длина AA1 равна 12 см.

a) Для доказательства того, что точки А1, В1 и М1 лежат на одной прямой, воспользуемся теоремой Паппа. По условию, прямые AB и А1В1 параллельны, а также прямые AB и АМ параллельны. Из этого следует, что точки А1, В1 и М1 лежат на одной прямой.

б) Так как точки А, B и М делят отрезок AB на три равные части, то можно сказать, что отношение AA1 к AB равно 1/3. Таким образом, если BB1 = 12 см, то AA1 = $1/3$ * 12 = 4 см.