Определить первый член,знаменатель и число членов геометрической прогрессии,если b7 -b4 = -216 ; b5...

Для того чтобы определить первый член ( b_1 ), знаменатель ( q ) и число членов ( n ) геометрической прогрессии, используем данные условия:

1. ( b_7 - b_4 = -216 )
2. ( b_5 - b_4 = -72 )
3. Сумма первых ( n ) членов ( S_n = 1023 )

Обозначим ( b_1 ) как первый член, ( q ) как знаменатель прогрессии.

По формуле ( n )-го члена геометрической прогрессии: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

Для заданных условий: [ b_7 = b_1 \cdot q^6 ] [ b_4 = b_1 \cdot q^3 ] [ b_5 = b_1 \cdot q^4 ]

Подставим в первое уравнение: [ b_7 - b_4 = -216 ] [ b_1 \cdot q^6 - b_1 \cdot q^3 = -216 ] [ b_1 \cdot q^3 (q^3 - 1) = -216 \quad \text{(1)} ]

Подставим во второе уравнение: [ b_5 - b_4 = -72 ] [ b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^3 = -72 ] [ b_1 \cdot q^3 (q - 1) = -72 \quad \text{(2)} ]

Разделим уравнение (1) на уравнение (2): [ \frac{b_1 \cdot q^3 (q^3 - 1)}{b_1 \cdot q^3 (q - 1)} = \frac{-216}{-72} ] [ \frac{q^3 - 1}{q - 1} = 3 ]

Распишем левую часть: [ q^3 - 1 = (q - 1)(q^2 + q + 1) ] [ \frac{(q - 1)(q^2 + q + 1)}{q - 1} = 3 ] [ q^2 + q + 1 = 3 ] [ q^2 + q - 2 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ q = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] [ q_1 = 1 \quad (\text{не подходит, так как } q \neq 1) ] [ q_2 = -2 ]

Теперь найдем ( b_1 ). Подставим ( q = -2 ) в уравнение (2): [ b_1 \cdot (-2)^3 ((-2) - 1) = -72 ] [ b_1 \cdot (-8) \cdot (-3) = -72 ] [ 24 \cdot b_1 = -72 ] [ b_1 = -3 ]

Теперь найдем число членов ( n ), зная сумму: [ S_n = 1023 ] Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии: [ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ] [ 1023 = -3 \cdot \frac{(-2)^n - 1}{-2 - 1} ] [ 1023 = -3 \cdot \frac{(-2)^n - 1}{-3} ] [ 1023 = (-2)^n - 1 ] [ (-2)^n = 1024 ]

Поскольку ( 1024 = 2^{10} ): [ (-2)^n = 2^{10} ] [ n = 10 ]

Таким образом, первый член ( b_1 = -3 ), знаменатель ( q = -2 ), и число членов ( n = 10 ).

Для того чтобы определить первый член, знаменатель и число членов геометрической прогрессии, используем следующие формулы:

1. Формула для вычисления любого члена геометрической прогрессии: bn = b1 * q^(n-1), где bn - n-ый член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.

2. Формула для суммы n членов геометрической прогрессии: Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q), где Sn - сумма n членов прогрессии.

Из условия задачи у нас имеются следующие данные:

• b7 - b4 = -216
• b5 - b4 = -72
• Sn = 1023

Исходя из первого условия, можем составить уравнение: b1 q^6 - b1 q^3 = -216

Из второго условия составляем уравнение: b1 q^4 - b1 q^3 = -72

Из третьего условия имеем: Sn = 1023 b1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 1023

Решив систему уравнений, можно найти значения первого члена b1, знаменателя q и числа членов прогрессии n.