Определить первый член,знаменатель и число членов геометрической прогрессии,если b7 -b4 = -216 ; b5...

Для того чтобы определить первый член $b_1$, знаменатель $q$ и число членов $n$ геометрической прогрессии, используем данные условия:

1. $b_7-b_4=-216$
2. $b_5-b_4=-72$
3. Сумма первых $n$ членов $S_n=1023$

Обозначим $b_1$ как первый член, $q$ как знаменатель прогрессии.

По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Для заданных условий: $b_7=b_1\cdot q^6$ $b_4=b_1\cdot q^3$ $b_5=b_1\cdot q^4$

Подставим в первое уравнение: $b_7-b_4=-216$ $b_1\cdot q^6-b_1\cdot q^3=-216$ $b_1\cdot q^3(q^3-1)=-216\text{(1)}$

Подставим во второе уравнение: $b_5-b_4=-72$ $b_1\cdot q^4-b_1\cdot q^3=-72$ $b_1\cdot q^3(q-1)=-72\text{(2)}$

Разделим уравнение $1$ на уравнение $2$: $\frac{b_1\cdot q^3(q^3-1)}{b_1\cdot q^3(q-1)}=\frac{-216}{-72}$ $\frac{q^3-1}{q-1}=3$

Распишем левую часть: $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$ $\frac{(q-1)(q^2+q+1)}{q-1}=3$ $q^2+q+1=3$ $q^2+q-2=0$

Решим квадратное уравнение: $q=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}$ $q_1=1(\text{не подходит, так как }q\ne 1)$ $q_2=-2$

Теперь найдем $b_1$. Подставим $q=-2$ в уравнение $2$: $b_1\cdot (-2{)}^3((-2)-1)=-72$ $b_1\cdot (-8)\cdot (-3)=-72$ $24\cdot b_1=-72$ $b_1=-3$

Теперь найдем число членов $n$, зная сумму: $S_n=1023$ Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$ $1023=-3\cdot \frac{(-2{)}^n-1}{-2-1}$ $1023=-3\cdot \frac{(-2{)}^n-1}{-3}$ $1023=(-2{)}^n-1$ $(-2{)}^n=1024$

Поскольку $1024=2^{10}$: $(-2{)}^n=2^{10}$ $n=10$

Таким образом, первый член $b_1=-3$, знаменатель $q=-2$, и число членов $n=10$.

Для того чтобы определить первый член, знаменатель и число членов геометрической прогрессии, используем следующие формулы:

1. Формула для вычисления любого члена геометрической прогрессии: bn = b1 * q^$n-1$, где bn - n-ый член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.

2. Формула для суммы n членов геометрической прогрессии: Sn = b1 * $1-q^n$ / $1-q$, где Sn - сумма n членов прогрессии.

Из условия задачи у нас имеются следующие данные:

• b7 - b4 = -216
• b5 - b4 = -72
• Sn = 1023

Исходя из первого условия, можем составить уравнение: b1 q^6 - b1 q^3 = -216

Из второго условия составляем уравнение: b1 q^4 - b1 q^3 = -72

Из третьего условия имеем: Sn = 1023 b1 * $1-q^n$ / $1-q$ = 1023

Решив систему уравнений, можно найти значения первого члена b1, знаменателя q и числа членов прогрессии n.