Около квадрата описана окружность и в квадрат впианна окружность найдите радиус вписанной окружности...

Радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности, то есть 5 корней из 2.

Для решения задачи необходимо использовать свойства окружностей, вписанных и описанных около квадрата.

1. Определение радиуса описанной окружности: Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины квадрата. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата, а радиус равен расстоянию от центра квадрата до его вершины.

2. Связь радиуса описанной окружности и стороны квадрата: Если радиус описанной окружности ( R ) равен ( 10\sqrt{2} ), то это расстояние от центра квадрата до его вершины, которое является гипотенузой треугольника с двумя равными катетами — половинами стороны квадрата (так как центр квадрата делит его диагонали пополам).

   В таком случае, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: [ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} ] где ( a ) — сторона квадрата.

   Подставим значение ( R = 10\sqrt{2} ): [ 10\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ]

3. Найдем сторону квадрата: Умножим обе части уравнения на 2: [ 20\sqrt{2} = a\sqrt{2} ]

   Теперь разделим обе части уравнения на (\sqrt{2}): [ a = 20 ]

   Таким образом, сторона квадрата равна 20.

4. Определение радиуса вписанной окружности: Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон квадрата изнутри. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата (так как радиус — это перпендикулярное расстояние от центра квадрата до его стороны).

   Следовательно, радиус вписанной окружности ( r ) равен: [ r = \frac{a}{2} = \frac{20}{2} = 10 ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 10.

Радиус описанной окружности равен длине диагонали квадрата, то есть 10√2. По свойствам квадрата, диагональ делит стороны квадрата пополам, поэтому сторона квадрата равна 10. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть 5.