Около квадрата описана окружность и в квадрат впианна окружность найдите радиус вписанной окружности...

Радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности, то есть 5 корней из 2.

Для решения задачи необходимо использовать свойства окружностей, вписанных и описанных около квадрата.

1. Определение радиуса описанной окружности: Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины квадрата. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата, а радиус равен расстоянию от центра квадрата до его вершины.

2. Связь радиуса описанной окружности и стороны квадрата: Если радиус описанной окружности $R$ равен $10\sqrt{2}$, то это расстояние от центра квадрата до его вершины, которое является гипотенузой треугольника с двумя равными катетами — половинами стороны квадрата $таккакцентрквадратаделитегодиагоналипополам$.

   В таком случае, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ где $a$ — сторона квадрата.

   Подставим значение $R=10\sqrt{2}$: $10\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

3. Найдем сторону квадрата: Умножим обе части уравнения на 2: $20\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

   Теперь разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $a=20$

   Таким образом, сторона квадрата равна 20.

4. Определение радиуса вписанной окружности: Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон квадрата изнутри. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата $таккакрадиус—этоперпендикулярноерасстояниеотцентраквадратадоегостороны$.

   Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен: $r=\frac{a}{2}=\frac{20}{2}=10$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 10.

Радиус описанной окружности равен длине диагонали квадрата, то есть 10√2. По свойствам квадрата, диагональ делит стороны квадрата пополам, поэтому сторона квадрата равна 10. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть 5.