Один биолог открыл удивительную разновидность амёб. Каждая из них через 1 минуту делилась на две. В пробирку биолог кладёт амёбу , и ровно через час пробирка оказывается заполненой амёбами, Сколько времени потребуется , чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё вначале положить не одну а две амебы?
Этот вопрос является отличной иллюстрацией экспоненциального роста. Давайте разберем его шаг за шагом.
Первоначально у нас есть одна амёба. Каждую минуту каждая амёба делится на две, что означает удвоение их количества каждую минуту. Через 1 минуту у нас будет 2 амёбы, через 2 минуты — 4 амёбы, через 3 минуты — 8 амёб и так далее. Это экспоненциальный рост, который можно описать формулой:
[ N(t) = N_0 \cdot 2^t ]
где:
В нашем случае, начальное количество амёб ( N_0 = 1 ).
Через 60 минут (1 час) пробирка полностью заполнена, то есть:
[ N(60) = 1 \cdot 2^{60} ]
Теперь рассмотрим ситуацию, когда мы начинаем с двух амёб. Тогда начальное количество амёб ( N_0 = 2 ). Нас интересует время ( t ), за которое пробирка снова заполнится.
Используем ту же формулу, но с другим ( N_0 ):
[ N(t) = 2 \cdot 2^t ]
Поскольку мы знаем, что пробирка заполняется за 60 минут, если начальное количество амёб было 1, это означает, что через 59 минут количество амёб было половиной полной пробирки (потому что через одну минуту оно удвоится и станет полным). Таким образом, когда мы начинаем с двух амёб, это эквивалентно тому, что мы начинаем с одной амёбы, но на минуту позже.
То есть, если пробирка заполняется за 60 минут с одной амёбой, то с двумя амёбами пробирка заполнится на одну минуту быстрее, то есть за 59 минут.
Таким образом, если в пробирку положить не одну, а две амёбы, пробирка заполнится амёбами за 59 минут.
При таком условии, каждая амёба каждую минуту делится на две. То есть, через 1 минуту у нас будет 4 амёбы (2 от первой амёбы и 2 от второй). Через 2 минуты - 8 амёб (4 от каждой из первоначальных). И так далее.
Таким образом, через 60 минут (1 час) у нас будет 2^60 амёб в пробирке, что равно 1.1529215 x 10^18. То есть, чтобы пробирка была полностью заполнена амёбами, потребуется 60 минут, если вначале в неё положить две амёбы.
