Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите объем...

Для решения задачи нахождения объема конуса, когда известны образующая конуса и угол её наклона к плоскости основания, можно использовать следующий подход:

1. Анализ задачи: Образующая конуса $L=12$ см, и она наклонена к плоскости основания под углом $\alpha ={30}^{\circ }$.

2. Использование тригонометрических соотношений: Образующая $L$, угол наклона $\alpha$ и радиус основания конуса $r$ связаны через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике $образующая,радиусоснованияивысотаконуса$: $\sin (\alpha )=\frac{h}{L}$ где $h$ — высота конуса.

   Так как $\sin ({30}^{\circ }$ = \frac{1}{2} ), то: $\frac{h}{12}=\frac{1}{2}⟹h=6\text{ см}$

3. Нахождение радиуса основания $r$: По теореме Пифагора для того же прямоугольного треугольника: $L^2=r^2+h^2$ Подставляем известные значения: ${12}^2=r^2+6^2⟹144=r^2+36⟹r^2=108⟹r=6\sqrt{3}\text{ см}$

4. Вычисление объема конуса: Объем конуса $V$ находится по формуле: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ Подставляем известные значения: $V=\frac{1}{3}\pi (6\sqrt{3}{)}^2\times 6=\frac{1}{3}\pi \times 108\times 6=216\pi \text{ куб. см}$

Итак, объем конуса равен $216\pi$ кубических сантиметров.

Для нахождения объема конуса необходимо знать радиус основания и высоту конуса.

Зная, что образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, можем найти радиус основания и высоту конуса.

По теореме синусов: sin$30градусов$ = r / 12, r = 12 sin$30градусов$, r = 12 0.5, r = 6 см.

Теперь, зная радиус основания и угол наклона, можем найти высоту конуса: h = 12 cos$30градусов$, h = 12 √3 / 2, h = 6√3 см.

Теперь можем найти объем конуса по формуле: V = 1/3 π r^2 h, V = 1/3 π 6^2 6√3, V = 1/3 π 36 * 6√3, V = 72π√3 см^3.

Таким образом, объем конуса равен 72π√3 кубических сантиметров.