Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите объем...

Для решения задачи нахождения объема конуса, когда известны образующая конуса и угол её наклона к плоскости основания, можно использовать следующий подход:

1. Анализ задачи: Образующая конуса ( L = 12 ) см, и она наклонена к плоскости основания под углом ( \alpha = 30^\circ ).

2. Использование тригонометрических соотношений: Образующая ( L ), угол наклона ( \alpha ) и радиус основания конуса ( r ) связаны через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике (образующая, радиус основания и высота конуса): [ \sin(\alpha) = \frac{h}{L} ] где ( h ) — высота конуса.

   Так как ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), то: [ \frac{h}{12} = \frac{1}{2} \implies h = 6 \text{ см} ]

3. Нахождение радиуса основания ( r ): По теореме Пифагора для того же прямоугольного треугольника: [ L^2 = r^2 + h^2 ] Подставляем известные значения: [ 12^2 = r^2 + 6^2 \implies 144 = r^2 + 36 \implies r^2 = 108 \implies r = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

4. Вычисление объема конуса: Объем конуса ( V ) находится по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] Подставляем известные значения: [ V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 108 \times 6 = 216 \pi \text{ куб. см} ]

Итак, объем конуса равен ( 216 \pi ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема конуса необходимо знать радиус основания и высоту конуса.

Зная, что образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, можем найти радиус основания и высоту конуса.

По теореме синусов: sin(30 градусов) = r / 12, r = 12 sin(30 градусов), r = 12 0.5, r = 6 см.

Теперь, зная радиус основания и угол наклона, можем найти высоту конуса: h = 12 cos(30 градусов), h = 12 √3 / 2, h = 6√3 см.

Теперь можем найти объем конуса по формуле: V = 1/3 π r^2 h, V = 1/3 π 6^2 6√3, V = 1/3 π 36 * 6√3, V = 72π√3 см^3.

Таким образом, объем конуса равен 72π√3 кубических сантиметров.