Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 и равна 4 см найдите площадь осевого...

Для решения задачи найдем площадь осевого сечения конуса. Осевым сечением называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и ось симметрии (высоту). В данном случае осевое сечение будет представлять собой равнобедренный треугольник.

Дано:

• Образующая конуса (l) равна 4 см.
• Угол между образующей и плоскостью основания конуса ((\alpha)) равен (45^\circ).

1. Нахождение высоты конуса (h): Высота конуса, его радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между высотой и образующей равен (45^\circ).

   Используем тригонометрическое соотношение: [ \cos(\alpha) = \frac{h}{l} ] Подставим известные значения: [ \cos(45^\circ) = \frac{h}{4} ] Поскольку (\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{4} ] Решим уравнение для (h): [ h = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

2. Нахождение радиуса основания (r): Теперь найдем радиус основания конуса. Радиус основания и высота также образуют прямоугольный треугольник с образующей.

   Используем тригонометрическое соотношение: [ \sin(\alpha) = \frac{r}{l} ] Подставим известные значения: [ \sin(45^\circ) = \frac{r}{4} ] Поскольку (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{4} ] Решим уравнение для (r): [ r = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

3. Нахождение площади осевого сечения: Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием (2r) и высотой (h).

   Длина основания треугольника: [ 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} ]

   Площадь треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ]

   Подставим найденные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} ]

   Упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна (8 \text{ см}^2).

Площадь осевого сечения конуса равна 8 см².

Для нахождения площади осевого сечения конуса, нам необходимо знать радиус основания конуса и расстояние от оси конуса до основания (высоту конуса). Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов и равна 4 см, мы можем найти радиус основания и высоту конуса с помощью тригонометрических функций.

Пусть ( r ) - радиус основания конуса, ( h ) - высота конуса. Тогда, зная, что образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, мы можем записать следующие уравнения:

[ r = 4 \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см} ]

[ h = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см} ]

Теперь, когда мы знаем радиус основания и высоту конуса, можем найти площадь осевого сечения конуса по формуле:

[ S = \pi r \cdot h = \pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\pi \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь осевого сечения конуса равна ( 8\pi \, \text{см}^2 ).