Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 и равна 4 см найдите площадь осевого...

Для решения задачи найдем площадь осевого сечения конуса. Осевым сечением называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и ось симметрии $высоту$. В данном случае осевое сечение будет представлять собой равнобедренный треугольник.

Дано:

• Образующая конуса $l$ равна 4 см.
• Угол между образующей и плоскостью основания конуса $(\alpha$) равен ${45}^{\circ }$.

1. Нахождение высоты конуса $h$: Высота конуса, его радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между высотой и образующей равен ${45}^{\circ }$.

   Используем тригонометрическое соотношение: $\cos (\alpha )=\frac{h}{l}$ Подставим известные значения: $\cos ({45}^{\circ })=\frac{h}{4}$ Поскольку $\cos ({45}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{2}}{2}): $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{4}$ Решим уравнение для $h$: $h=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ см}$

2. Нахождение радиуса основания $r$: Теперь найдем радиус основания конуса. Радиус основания и высота также образуют прямоугольный треугольник с образующей.

   Используем тригонометрическое соотношение: $\sin (\alpha )=\frac{r}{l}$ Подставим известные значения: $\sin ({45}^{\circ })=\frac{r}{4}$ Поскольку $\sin ({45}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{2}}{2}): $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{r}{4}$ Решим уравнение для $r$: $r=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ см}$

3. Нахождение площади осевого сечения: Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $h$.

   Длина основания треугольника: $2r=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ см}$

   Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$

   Подставим найденные значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}$

   Упростим выражение: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot (\sqrt{2}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot 16=8{\text{ см}}^2$

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна $8{\text{ см}}^2$.

Площадь осевого сечения конуса равна 8 см².

Для нахождения площади осевого сечения конуса, нам необходимо знать радиус основания конуса и расстояние от оси конуса до основания $высотуконуса$. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов и равна 4 см, мы можем найти радиус основания и высоту конуса с помощью тригонометрических функций.

Пусть $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса. Тогда, зная, что образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, мы можем записать следующие уравнения:

$r=4\cdot \cos ({45}^{\circ })=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{см}$

$h=4\cdot \sin ({45}^{\circ })=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{см}$

Теперь, когда мы знаем радиус основания и высоту конуса, можем найти площадь осевого сечения конуса по формуле:

$S=\pi r\cdot h=\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8\pi {\text{см}}^2$

Итак, площадь осевого сечения конуса равна $8\pi {\text{см}}^2$.