Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось...

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух фокусов (точек F1 и F2) эллипса до данной точки постоянна (равна 2a, где a – большая полуось). Для нахождения уравнения эллипса с известными параметрами (расстояние между фокусами и малая полуось), можно воспользоваться следующей формулой:

c = √(a^2 - b^2),

где c – расстояние от центра эллипса до каждого из фокусов. В данном случае c = 8/2 = 4, поэтому a = √(c^2 + b^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Таким образом, большая полуось a = 5, малая полуось b = 3, а расстояние между фокусами равно 8. Уравнение эллипса в общем виде имеет вид:

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Подставляя значения в уравнение, получаем:

x^2 / 5^2 + y^2 / 3^2 = 1, x^2 / 25 + y^2 / 9 = 1, 9x^2 + 25y^2 = 225.

Таким образом, уравнение эллипса с заданными параметрами будет 9x^2 + 25y^2 = 225.

Для написания уравнения эллипса в стандартной форме, где эллипс располагается по центру в начале координат, и его оси совпадают с координатными осями, воспользуемся следующей информацией и формулами:

1. Уравнение эллипса в стандартной форме записывается как: [ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ] где (a) — большая полуось, (b) — малая полуось.

2. Расстояние между фокусами (2c) равно 8, то есть (c = 4).

3. Связь между полуосями и фокусным расстоянием задаётся формулой: [ c^2 = a^2 - b^2 ] Подставляя известные значения, получаем: [ 4^2 = a^2 - 3^2 ] [ 16 = a^2 - 9 ] [ a^2 = 25 ] [ a = 5 ]

Теперь, когда известны значения (a) и (b), можно записать уравнение эллипса: [ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 ]

Это уравнение описывает эллипс с центром в точке (0, 0), большой полуосью (a = 5) и малой полуосью (b = 3), фокусы которого расположены на расстоянии 4 единиц по оси (x) от центра (в точках ((-4, 0)) и ((4, 0))).