Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось...

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух фокусов $точекF1иF2$ эллипса до данной точки постоянна $равна2a,гдеa–большаяполуось$. Для нахождения уравнения эллипса с известными параметрами $расстояниемеждуфокусамиималаяполуось$, можно воспользоваться следующей формулой:

c = √$a^2-b^2$,

где c – расстояние от центра эллипса до каждого из фокусов. В данном случае c = 8/2 = 4, поэтому a = √$c^2+b^2$ = √$4^2+3^2$ = √$16+9$ = √25 = 5.

Таким образом, большая полуось a = 5, малая полуось b = 3, а расстояние между фокусами равно 8. Уравнение эллипса в общем виде имеет вид:

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Подставляя значения в уравнение, получаем:

x^2 / 5^2 + y^2 / 3^2 = 1, x^2 / 25 + y^2 / 9 = 1, 9x^2 + 25y^2 = 225.

Таким образом, уравнение эллипса с заданными параметрами будет 9x^2 + 25y^2 = 225.

Для написания уравнения эллипса в стандартной форме, где эллипс располагается по центру в начале координат, и его оси совпадают с координатными осями, воспользуемся следующей информацией и формулами:

1. Уравнение эллипса в стандартной форме записывается как: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ где $a$ — большая полуось, $b$ — малая полуось.

2. Расстояние между фокусами $2c$ равно 8, то есть $c=4$.

3. Связь между полуосями и фокусным расстоянием задаётся формулой: $c^2=a^2-b^2$ Подставляя известные значения, получаем: $4^2=a^2-3^2$ $16=a^2-9$ $a^2=25$ $a=5$

Теперь, когда известны значения $a$ и $b$, можно записать уравнение эллипса: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

Это уравнение описывает эллипс с центром в точке $0,0$, большой полуосью $a=5$ и малой полуосью $b=3$, фокусы которого расположены на расстоянии 4 единиц по оси $x$ от центра $вточках((-4,0$) и $(4,0$)).