Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену а) аn=1/4n^2+1; б) an=2^n/n!

Конечно, давайте разберём оба задания по порядку, вычислив первые пять членов каждого ряда.

Задание а) $a_n=\frac{1}{4n^2+1}$

Чтобы найти первые пять членов ряда, подставим значения $n$ от 1 до 5 в общий член $a_n$:

1. Для $n=1$: $a_1=\frac{1}{4\cdot 1^2+1}=\frac{1}{4\cdot 1+1}=\frac{1}{5}$

2. Для $n=2$: $a_2=\frac{1}{4\cdot 2^2+1}=\frac{1}{4\cdot 4+1}=\frac{1}{17}$

3. Для $n=3$: $a_3=\frac{1}{4\cdot 3^2+1}=\frac{1}{4\cdot 9+1}=\frac{1}{37}$

4. Для $n=4$: $a_4=\frac{1}{4\cdot 4^2+1}=\frac{1}{4\cdot 16+1}=\frac{1}{65}$

5. Для $n=5$: $a_5=\frac{1}{4\cdot 5^2+1}=\frac{1}{4\cdot 25+1}=\frac{1}{101}$

Таким образом, первые пять членов ряда будут: $a_1=\frac{1}{5},a_2=\frac{1}{17},a_3=\frac{1}{37},a_4=\frac{1}{65},a_5=\frac{1}{101}$

Задание б) $a_n=\frac{2^n}{n!}$

Теперь вычислим первые пять членов этого ряда:

1. Для $n=1$: $a_1=\frac{2^1}{1!}=\frac{2}{1}=2$

2. Для $n=2$: $a_2=\frac{2^2}{2!}=\frac{4}{2}=2$

3. Для $n=3$: $a_3=\frac{2^3}{3!}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

4. Для $n=4$: $a_4=\frac{2^4}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$

5. Для $n=5$: $a_5=\frac{2^5}{5!}=\frac{32}{120}=\frac{4}{15}$

Таким образом, первые пять членов ряда будут: $a_1=2,a_2=2,a_3=\frac{4}{3},a_4=\frac{2}{3},a_5=\frac{4}{15}$

Итак, мы нашли первые пять членов для каждого из заданных рядов.

а) Для нахождения первых пяти членов ряда по общему члену a_n=1/$4n^2+1$ нужно подставить значения n от 1 до 5 в формулу. Получим: a_1 = 1/(41^2 + 1) = 1/5 a_2 = 1/(42^2 + 1) = 1/17 a_3 = 1/(43^2 + 1) = 1/37 a_4 = 1/(44^2 + 1) = 1/65 a_5 = 1/$4\ast 5^2+1$ = 1/101

б) Для нахождения первых пяти членов ряда по общему члену a_n=2^n/n! нужно аналогично подставить значения n от 1 до 5 в формулу. Получим: a_1 = 2^1/1! = 2/1 = 2 a_2 = 2^2/2! = 4/2 = 2 a_3 = 2^3/3! = 8/6 = 4/3 a_4 = 2^4/4! = 16/24 = 2/3 a_5 = 2^5/5! = 32/120 = 2/15

Таким образом, первые пять членов ряда для обоих общих членов найдены.