Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену а) аn=1/4n^2+1; б) an=2^n/n!

Конечно, давайте разберём оба задания по порядку, вычислив первые пять членов каждого ряда.

Задание а) ( a_n = \frac{1}{4n^2 + 1} )

Чтобы найти первые пять членов ряда, подставим значения ( n ) от 1 до 5 в общий член ( a_n ):

1. Для ( n = 1 ): [ a_1 = \frac{1}{4 \cdot 1^2 + 1} = \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5} ]

2. Для ( n = 2 ): [ a_2 = \frac{1}{4 \cdot 2^2 + 1} = \frac{1}{4 \cdot 4 + 1} = \frac{1}{17} ]

3. Для ( n = 3 ): [ a_3 = \frac{1}{4 \cdot 3^2 + 1} = \frac{1}{4 \cdot 9 + 1} = \frac{1}{37} ]

4. Для ( n = 4 ): [ a_4 = \frac{1}{4 \cdot 4^2 + 1} = \frac{1}{4 \cdot 16 + 1} = \frac{1}{65} ]

5. Для ( n = 5 ): [ a_5 = \frac{1}{4 \cdot 5^2 + 1} = \frac{1}{4 \cdot 25 + 1} = \frac{1}{101} ]

Таким образом, первые пять членов ряда будут: [ a_1 = \frac{1}{5}, \quad a_2 = \frac{1}{17}, \quad a_3 = \frac{1}{37}, \quad a_4 = \frac{1}{65}, \quad a_5 = \frac{1}{101} ]

Задание б) ( a_n = \frac{2^n}{n!} )

Теперь вычислим первые пять членов этого ряда:

1. Для ( n = 1 ): [ a_1 = \frac{2^1}{1!} = \frac{2}{1} = 2 ]

2. Для ( n = 2 ): [ a_2 = \frac{2^2}{2!} = \frac{4}{2} = 2 ]

3. Для ( n = 3 ): [ a_3 = \frac{2^3}{3!} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} ]

4. Для ( n = 4 ): [ a_4 = \frac{2^4}{4!} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} ]

5. Для ( n = 5 ): [ a_5 = \frac{2^5}{5!} = \frac{32}{120} = \frac{4}{15} ]

Таким образом, первые пять членов ряда будут: [ a_1 = 2, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = \frac{4}{3}, \quad a_4 = \frac{2}{3}, \quad a_5 = \frac{4}{15} ]

Итак, мы нашли первые пять членов для каждого из заданных рядов.

а) Для нахождения первых пяти членов ряда по общему члену a_n=1/(4n^2 + 1) нужно подставить значения n от 1 до 5 в формулу. Получим: a_1 = 1/(41^2 + 1) = 1/5 a_2 = 1/(42^2 + 1) = 1/17 a_3 = 1/(43^2 + 1) = 1/37 a_4 = 1/(44^2 + 1) = 1/65 a_5 = 1/(4*5^2 + 1) = 1/101

б) Для нахождения первых пяти членов ряда по общему члену a_n=2^n/n! нужно аналогично подставить значения n от 1 до 5 в формулу. Получим: a_1 = 2^1/1! = 2/1 = 2 a_2 = 2^2/2! = 4/2 = 2 a_3 = 2^3/3! = 8/6 = 4/3 a_4 = 2^4/4! = 16/24 = 2/3 a_5 = 2^5/5! = 32/120 = 2/15

Таким образом, первые пять членов ряда для обоих общих членов найдены.