Найти векторное произведение векторов a =2i+3j-4k и b=i-j+3k

Для нахождения векторного произведения векторов a и b необходимо воспользоваться формулой:

a x b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k

где ai, aj, ak - координаты вектора a, bi, bj, bk - координаты вектора b.

Подставив значения координат векторов a и b, получим:

a x b = ((3)(3) - (-4)(-1))i + ((-4)(1) - (2)(3))j + ((2)(-1) - (3)(3))k a x b = (9 - 4)i + (-4 - 6)j + (-2 - 9)k a x b = 5i - 10j - 11k

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно 5i - 10j - 11k.

Чтобы найти векторное произведение двух векторов (\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) и (\mathbf{b} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}), используем определение векторного произведения. Векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) определяется как детерминант следующей матрицы:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 3 & -4 \ 1 & -1 & 3 \ \end{vmatrix} ]

Для нахождения этого детерминанта, разложим его по первой строке:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & -4 \ -1 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 1 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \end{vmatrix} ]

Теперь вычислим каждый из этих миноров:

1. (\begin{vmatrix} 3 & -4 \ -1 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (-4)(-1) = 9 - 4 = 5)

2. (\begin{vmatrix} 2 & -4 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-4)(1) = 6 + 4 = 10)

3. (\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5)

Подставив значения миноров обратно в выражение, получим:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(5) - \mathbf{j}(10) + \mathbf{k}(-5) ]

Таким образом, векторное произведение векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равно:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 5\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 5\mathbf{k} ]

Или в координатной форме:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (5, -10, -5) ]

Это и есть искомый вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторам (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).

Векторное произведение векторов a и b равно вектору (-9i - 2j - 5k).