Найти точку м1 симметричную точке м2(8;-9) относительно прямой проходящей через точки а(3;-4) и б(-1;-2)

Для нахождения точки м1, симметричной точке м2(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки A(3;-4) и Б(-1;-2), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и Б. Для этого используем формулу построения уравнения прямой по двум точкам:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1),

где (x1; y1) = (3; -4) и (x2; y2) = (-1; -2).

Подставляем значения:

y + 4 = (-2 + 4) / (-1 + 3) (x - 3), y + 4 = 1 (x - 3), y + 4 = x - 3.

Упрощаем уравнение:

x - y = 7.

Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через точки A и Б: x - y = 7.

1. Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку M2(8;-9). Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет обратным отношением и противоположным знаком:

k1 = -1 / k2, k2 = -1.

Подставляем координаты точки M2 и коэффициент наклона:

-9 = -1 * 8 + b, b = -1.

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку M2, имеет вид: y = -x - 1.

1. Найдем пересечение данных прямых. Для этого решим систему уравнений:

x - y = 7, y = -x - 1.

Подставляем второе уравнение в первое:

x - (-x - 1) = 7, 2x + 1 = 7, 2x = 6, x = 3.

Подставляем найденное значение x в уравнение y = -x - 1:

y = -3 - 1, y = -4.

Таким образом, точка M1, симметричная точке M2 относительно прямой, проходящей через точки A и Б, имеет координаты (3; -4).

Чтобы найти точку ( M_1 ), симметричную точке ( M_2(8, -9) ) относительно прямой, проходящей через точки ( A(3, -4) ) и ( B(-1, -2) ), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти уравнение прямой, проходящей через точки ( A ) и ( B ).

Сначала найдем угловой коэффициент ( k ) прямой. Формула для углового коэффициента между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) такова:

[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ]

Подставим координаты точек ( A(3, -4) ) и ( B(-1, -2) ):

[ k = \frac{-2 + 4}{-1 - 3} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} ]

Теперь можем записать уравнение прямой в общем виде ( y = kx + b ). Подставим координаты одной из точек, например, точки ( A(3, -4) ), чтобы найти ( b ):

[ -4 = -\frac{1}{2} \cdot 3 + b ]

[ -4 = -\frac{3}{2} + b ]

[ b = -4 + \frac{3}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} ]

Таким образом, уравнение прямой:

[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} ]

Шаг 2: Найти перпендикулярную прямую, проходящую через точку ( M_2(8, -9) ).

Перпендикулярная прямая будет иметь угловой коэффициент, равный ( 2 ) (обратный и противоположный к (-\frac{1}{2})). Уравнение перпендикулярной прямой:

[ y = 2x + c ]

Подставим точку ( M_2(8, -9) ), чтобы найти ( c ):

[ -9 = 2 \cdot 8 + c ]

[ -9 = 16 + c ]

[ c = -9 - 16 = -25 ]

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой:

[ y = 2x - 25 ]

Шаг 3: Найти точку пересечения этих двух прямых.

Решим системы уравнений:

1. (-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} = 2x - 25)

Приведем уравнение к общему виду:

[ -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} = 2x - 25 ]

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

[ -x - 5 = 4x - 50 ]

Перенесем все члены с ( x ) в одну сторону:

[ -5 + 50 = 4x + x ]

[ 45 = 5x ]

[ x = 9 ]

Теперь найдем ( y ) подставив ( x = 9 ) в любое из уравнений, например, во второе:

[ y = 2 \cdot 9 - 25 = 18 - 25 = -7 ]

Точка пересечения ((9, -7)).

Шаг 4: Найти точку ( M_1 ).

Точка ( M_2 ) и точка пересечения ((9, -7)) являются серединой отрезка ( M_1M_2 ). Используем формулы средней точки между двумя точками для нахождения координат ( M_1(x_1, y_1) ):

[ \left(\frac{x_1 + 8}{2}, \frac{y_1 - 9}{2}\right) = (9, -7) ]

Решим систему уравнений для каждой координаты:

1. (\frac{x_1 + 8}{2} = 9)

[ x_1 + 8 = 18 ]

[ x_1 = 10 ]

1. (\frac{y_1 - 9}{2} = -7)

[ y_1 - 9 = -14 ]

[ y_1 = -5 ]

Таким образом, координаты точки ( M_1 ):

( M_1(10, -5) ).

Для нахождения точки m1 нужно использовать формулу симметрии относительно прямой. Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки a и b, затем найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку m2. После этого найдем точку m1, симметричную m2 относительно найденной прямой.