Найти промежутки возрастания функции y=2x^3-3x^2+5

Чтобы найти промежутки возрастания функции ( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
   Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке, и её знак указывает на возрастание или убывание функции. Найдем первую производную функции ( y ):

   [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 5) = 6x^2 - 6x ]

2. Найти критические точки.
   Критические точки находятся из условия, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует везде, поэтому решаем уравнение:

   [ 6x^2 - 6x = 0 ]

   Разложим уравнение на множители:

   [ 6x(x - 1) = 0 ]

   Отсюда получаем критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

3. Исследовать знаки производной на интервалах.
   Разбиваем числовую прямую на интервалы, используя критические точки: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 1) ), ( (1, \infty) ).

   • На интервале ( (-\infty, 0) ): выберем тестовую точку, например ( x = -1 ). [ y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 ] Здесь производная положительна, значит функция возрастает.

   • На интервале ( (0, 1) ): выберем тестовую точку, например ( x = 0.5 ). [ y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 ] Здесь производная отрицательна, значит функция убывает.

   • На интервале ( (1, \infty) ): выберем тестовую точку, например ( x = 2 ). [ y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 > 0 ] Здесь производная положительна, значит функция возрастает.

4. Вывод.
   Функция ( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 ) возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (1, \infty) ).

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции y=2x^3-3x^2+5, нужно проанализировать ее производную.

Сначала найдем производную от функции y по переменной x: y' = 6x^2 - 6x

Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 6x^2 - 6x = 0 6x(x - 1) = 0 x = 0, x = 1

Теперь определим знак производной в каждом из промежутков, образованных точками экстремума (x = 0 и x = 1):

1. При x < 0: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке.
2. При 0 < x < 1: y' > 0, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
3. При x > 1: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке.

Итак, функция y=2x^3-3x^2+5 возрастает на интервале (0, 1).