Найти производную функции y=1-2x / 2x+1

Для нахождения производной функции ( y = \frac{1 - 2x}{2x + 1} ) используем правило нахождения производной частного. Пусть ( u(x) = 1 - 2x ) и ( v(x) = 2x + 1 ). Тогда производная частного ( \frac{u}{v} ) вычисляется по формуле:

[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

1. Найдём производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

   • ( u(x) = 1 - 2x ) (\Rightarrow u'(x) = -2)
   • ( v(x) = 2x + 1 ) (\Rightarrow v'(x) = 2)

2. Подставим найденные значения в формулу производной частного:

[ y' = \frac{(-2)(2x + 1) - (1 - 2x)(2)}{(2x + 1)^2} ]

1. Упростим выражение в числителе:

[ y' = \frac{-4x - 2 - 2 + 4x}{(2x + 1)^2} ]

1. Упростим числитель:

[ y' = \frac{-4}{(2x + 1)^2} ]

Таким образом, производная функции ( y = \frac{1 - 2x}{2x + 1} ) равна:

[ y' = \frac{-4}{(2x + 1)^2} ]

y' = (2(2x + 1) - (-2)(2x)) / (2x + 1)^2 y' = (4x + 2 + 4x) / (2x + 1)^2 y' = (8x + 2) / (2x + 1)^2

Для нахождения производной данной функции y=1-2x / 2x+1 необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Для этого выразим функцию в виде y=(1-2x) / (2x+1) = (1-2x) * (2x+1)^(-1). Затем применим правило дифференцирования произведения функций: (uv)' = u'v + uv'.

Теперь продифференцируем каждую из функций: u = 1-2x и v = (2x+1)^(-1).

Производная функции u: u' = -2

Производная функции v: v' = -1 (2x+1)^(-2) 2 = -2 / (2x+1)^2

Подставим значения производных в формулу для производной произведения функций: (y)' = (-2)(2x+1)^(-1) + (1-2x) (-2 / (2x+1)^2) (y)' = -2 / (2x+1) - 2(1-2x) / (2x+1)^2 (y)' = -2 / (2x+1) - (2 - 4x) / (2x+1)^2 (y)' = (-2 - 2 + 4x) / (2x+1)^2 (y)' = (4x - 4) / (2x+1)^2 (y)' = 4(x - 1) / (2x+1)^2

Таким образом, производная функции y=1-2x / 2x+1 равна 4(x - 1) / (2x+1)^2.