Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=2x-x^2,у=0. Выполните чертеж.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y=2x-x^2$ и $y=0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение точек пересечения кривых: Найдем точки пересечения кривой $y=2x-x^2$ и прямой $y=0$. Для этого приравняем их: $2x-x^2=0$ Решим это уравнение: $x(2-x)=0$ Отсюда получаем два корня: $x=0\text{и}x=2$ Таким образом, точки пересечения кривых находятся при $x=0$ и $x=2$.

2. Определение границ интегрирования: Поскольку кривые пересекаются в точках $x=0$ и $x=2$, эти значения будут границами интегрирования.

3. Запись выражения для площади: Площадь фигуры, ограниченной кривой $y=2x-x^2$ и осью $x$, можно найти с помощью интеграла: $S={\int }_0^2(2x-x^2)dx$

4. Вычисление интеграла: Интегрируем выражение $2x-x^2$: $\int (2x-x^2)dx=\int 2xdx-\int x^{2}dx$ Вычислим каждый интеграл отдельно: $\int 2xdx=x^2+C$ $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ Подставим результаты обратно: [ \int{0}^{2} $2x-x^2$ \, dx = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}${0}^{2} ] Вычислим значения интеграла на границах: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{0}^{2} = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ - \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ] $=(4-\frac{8}{3})-0=4-\frac{8}{3}=\frac{12}{3}-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=2x-x^2$ и $y=0$, равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.

1. Чертеж: Для построения чертежа:
   • Нарисуйте оси координат.
   • Постройте параболу $y=2x-x^2$, которая пересекает ось $x$ в точках $x=0$ и $x=2$.
   • Обозначьте область под параболой от $x=0$ до $x=2$.

На графике это будет выглядеть как часть параболы, ограниченная осью $x$ и линиями $x=0$ и $x=2$.

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, составляет 2/3 единицы площади единичного квадрата. Для выполнения чертежа можно построить график функции y=2x-x^2 и области, ограниченной линией и осью X.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их и найдем значение x:

2x - x^2 = 0 x$2-x$ = 0 x = 0 или x = 2

Таким образом, точки пересечения функций y=2x-x^2 и y=0 равны $0,0$ и $2,0$.

Теперь построим график этих функций и области, которую они ограничивают:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(0, 2, 100)
y1 = 2*x - x**2
y2 = np.zeros_like(x)

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(x, y1, label='y=2x-x^2')
plt.plot(x, y2, label='y=0')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями. Это можно сделать с помощью определенного интеграла:

S = ∫$a,b$ $f(x$ - g$x$) dx

Где a и b - точки пересечения функций, f$x$ и g$x$ - уравнения функций $2x-x^2и0соответственно$.

S = ∫$0,2$ $2x-x^2-0$ dx = ∫$0,2$ $2x-x^2$ dx = $x^2-(x^3)/3$ $0,2$ = $2^2-(2^3$/3) - $0^2-(0^3$/3) = 4 - 8/3 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, равна 4/3 единицы площади.