Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=2x-x^2,у=0. Выполните чертеж.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми (y = 2x - x^2) и (y = 0), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение точек пересечения кривых: Найдем точки пересечения кривой (y = 2x - x^2) и прямой (y = 0). Для этого приравняем их: [ 2x - x^2 = 0 ] Решим это уравнение: [ x(2 - x) = 0 ] Отсюда получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ] Таким образом, точки пересечения кривых находятся при (x = 0) и (x = 2).

2. Определение границ интегрирования: Поскольку кривые пересекаются в точках (x = 0) и (x = 2), эти значения будут границами интегрирования.

3. Запись выражения для площади: Площадь фигуры, ограниченной кривой (y = 2x - x^2) и осью (x), можно найти с помощью интеграла: [ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx ]

4. Вычисление интеграла: Интегрируем выражение (2x - x^2): [ \int (2x - x^2) \, dx = \int 2x \, dx - \int x^2 \, dx ] Вычислим каждый интеграл отдельно: [ \int 2x \, dx = x^2 + C ] [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C ] Подставим результаты обратно: [ \int{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]{0}^{2} ] Вычислим значения интеграла на границах: [ \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) ] [ = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми (y = 2x - x^2) и (y = 0), равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.

1. Чертеж: Для построения чертежа:
   • Нарисуйте оси координат.
   • Постройте параболу (y = 2x - x^2), которая пересекает ось (x) в точках (x = 0) и (x = 2).
   • Обозначьте область под параболой от (x = 0) до (x = 2).

На графике это будет выглядеть как часть параболы, ограниченная осью (x) и линиями (x = 0) и (x = 2).

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, составляет 2/3 единицы площади единичного квадрата. Для выполнения чертежа можно построить график функции y=2x-x^2 и области, ограниченной линией и осью X.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их и найдем значение x:

2x - x^2 = 0 x(2 - x) = 0 x = 0 или x = 2

Таким образом, точки пересечения функций y=2x-x^2 и y=0 равны (0,0) и (2,0).

Теперь построим график этих функций и области, которую они ограничивают:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(0, 2, 100)
y1 = 2*x - x**2
y2 = np.zeros_like(x)

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(x, y1, label='y=2x-x^2')
plt.plot(x, y2, label='y=0')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями. Это можно сделать с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Где a и b - точки пересечения функций, f(x) и g(x) - уравнения функций (2x-x^2 и 0 соответственно).

S = ∫[0,2] (2x-x^2 - 0) dx = ∫[0,2] (2x-x^2) dx = [x^2 - (x^3)/3] [0,2] = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3) = 4 - 8/3 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, равна 4/3 единицы площади.