Найти наибольшее значение функции y=(x-27)e^28-x на отрезке [23;40]

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [23;40] необходимо найти все стационарные точки функции, а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y=(x-27)e^(28-x): y' = ((x-27)e^(28-x))' = (x-27)'e^(28-x) + (x-27)e^(28-x)' = e^(28-x) - (x-27)e^(28-x) = (1-x)e^(28-x).

2. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: (1-x)e^(28-x) = 0, 1-x = 0, x = 1.

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y(23) = (23-27)e^(28-23) = -4e^5 ≈ -244.69, y(1) = (1-27)e^(28-1) = -26e^27 ≈ -1.83e+10, y(40) = (40-27)e^(28-40) = 13e^-12 ≈ 13e-12.

4. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [23;40] равно примерно 13e-12 и достигается при x=40.

Наибольшее значение функции y=(x-27)e^28-x на отрезке [23;40] равно 1.024 * 10^7.

Для нахождения наибольшего значения функции ( y = (x-27)e^{28-x} ) на отрезке ([23, 40]), сначала упростим выражение и найдем производную функции, чтобы определить критические точки.

1. Упростим функцию: [ y = (x-27)e^{28-x} = (x-27)e^{28}e^{-x} = (x-27)e^{28} \cdot \frac{1}{e^x} = (x-27) \cdot e^{28-x}. ]

2. Найдем производную ( y' ) функции ( y ) по ( x ): [ y' = \frac{d}{dx}[(x-27)e^{28-x}]. ] Применим правило производной произведения (где ( u = x-27 ) и ( v = e^{28-x} )): [ u' = 1, \quad v' = -e^{28-x} ] [ y' = u'v + uv' = e^{28-x} - (x-27)e^{28-x} = (1 - (x-27))e^{28-x} = (28-x)e^{28-x}. ]

3. Решим уравнение ( y' = 0 ) для нахождения критических точек: [ (28-x)e^{28-x} = 0. ] Поскольку ( e^{28-x} \neq 0 ) для любого ( x ), то имеем: [ 28-x = 0 ] [ x = 28. ]

4. Проверим знаки производной на интервалах разбиения: [ y'(x < 28) > 0, \quad y'(x > 28) < 0. ] Это означает, что в точке ( x = 28 ) функция достигает локального максимума.

5. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(23) = (23-27)e^{28-23} = -4e^{5}, ] [ y(28) = (28-27)e^{28-28} = 1 \cdot 1 = 1, ] [ y(40) = (40-27)e^{28-40} = 13e^{-12}. ]

6. Сравним полученные значения: [ -4e^5 ] и ( 13e^{-12} ) оба меньше ( 1 ), поскольку ( e^5 ) значительно больше ( 1 ) и ( e^{-12} ) значительно меньше ( 1 ).

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = (x-27)e^{28-x} ) на отрезке ([23, 40]) равно ( 1 ) и достигается при ( x = 28 ).