Найти наибольшее значение функции y=$x-27$e^28-x на отрезке $23;40$

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке $23;40$ необходимо найти все стационарные точки функции, а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y=$x-27$e^$28-x$: y' = $(x-27$e^$28-x$)' = $x-27$'e^$28-x$ + $x-27$e^$28-x$' = e^$28-x$ - $x-27$e^$28-x$ = $1-x$e^$28-x$.

2. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $1-x$e^$28-x$ = 0, 1-x = 0, x = 1.

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y$23$ = $23-27$e^$28-23$ = -4e^5 ≈ -244.69, y$1$ = $1-27$e^$28-1$ = -26e^27 ≈ -1.83e+10, y$40$ = $40-27$e^$28-40$ = 13e^-12 ≈ 13e-12.

4. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $23;40$ равно примерно 13e-12 и достигается при x=40.

Наибольшее значение функции y=$x-27$e^28-x на отрезке $23;40$ равно 1.024 * 10^7.

Для нахождения наибольшего значения функции $y=(x-27$e^{28-x} ) на отрезке $[23,40]$, сначала упростим выражение и найдем производную функции, чтобы определить критические точки.

1. Упростим функцию: $y=(x-27)e^{28-x}=(x-27)e^{28}{e}^{-x}=(x-27)e^{28}\cdot \frac{1}{e^x}=(x-27)\cdot e^{28-x}.$

2. Найдем производную $y^{\prime }$ функции $y$ по $x$: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}[(x-27)e^{28-x}$. ] Применим правило производной произведения $где(u=x-27$ и $v=e^{28-x}$): $u^{\prime }=1,v^{\prime }=-e^{28-x}$ $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=e^{28-x}-(x-27)e^{28-x}=(1-(x-27))e^{28-x}=(28-x)e^{28-x}.$

3. Решим уравнение $y^{\prime }=0$ для нахождения критических точек: $(28-x)e^{28-x}=0.$ Поскольку $e^{28-x}\ne 0$ для любого $x$, то имеем: $28-x=0$ $x=28.$

4. Проверим знаки производной на интервалах разбиения: $y^{\prime }(x<28)>0,y^{\prime }(x>28)<0.$ Это означает, что в точке $x=28$ функция достигает локального максимума.

5. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке: $y(23)=(23-27)e^{28-23}=-4e^5,$ $y(28)=(28-27)e^{28-28}=1\cdot 1=1,$ $y(40)=(40-27)e^{28-40}=13e^{-12}.$

6. Сравним полученные значения: $-4e^5$ и $13e^{-12}$ оба меньше $1$, поскольку $e^5$ значительно больше $1$ и $e^{-12}$ значительно меньше $1$.

Таким образом, наибольшее значение функции $y=(x-27$e^{28-x} ) на отрезке $[23,40]$ равно $1$ и достигается при $x=28$.