Найти наибольшее значение функции f$x$=х3 -3х2 + 2 на отрезке $-2;3$.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке $[-2;3]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции

Производная функции позволяет определить критические точки, где функция может достигать экстремумов $максимумаилиминимума$. Вычислим первую производную $f(x$ ):

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+2)=3x^2-6x.$

2. Найти критические точки

Критические точки находятся из условия, что производная равна нулю $(f^{\prime }(x$ = 0 )):

$3x^2-6x=0.$

Распишем уравнение:

$3x(x-2)=0.$

Решения:

$x=0\text{или}x=2.$

Итак, критические точки: $x=0$ и $x=2$.

3. Проверить значения в критических точках и на границах отрезка

Функция может достигать экстремумов $максимумаилиминимума$ как в критических точках, так и на границах отрезка. Поэтому нам нужно вычислить значения функции $f(x$ ) в следующих точках: $x=-2$, $x=0$, $x=2$, $x=3$.

3.1. Значение функции в $x=-2$:

$f(-2)=(-2{)}^3-3(-2{)}^2+2=-8-12+2=-18.$

3.2. Значение функции в $x=0$:

$f(0)=(0{)}^3-3(0{)}^2+2=2.$

3.3. Значение функции в $x=2$:

$f(2)=(2{)}^3-3(2{)}^2+2=8-12+2=-2.$

3.4. Значение функции в $x=3$:

$f(3)=(3{)}^3-3(3{)}^2+2=27-27+2=2.$

4. Вывод: найти наибольшее значение

Теперь сравним значения функции в этих точках:

• $f(-2$ = -18 ),
• $f(0$ = 2 ),
• $f(2$ = -2 ),
• $f(3$ = 2 ).

Наибольшее значение функции равно $2$, и оно достигается в точках $x=0$ и $x=3$.

Окончательный ответ:

Наибольшее значение функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке $[-2;3]$ равно $\mathbf{2}$. Это значение достигается в точках $x=0$ и $x=3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке $[-2;3]$, нужно выполнить несколько шагов: вычислить производную функции, найти критические точки, а затем оценить значение функции на границах отрезка и в критических точках.

1. Найдем производную функции:

   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

   Мы можем упростить это выражение, вынеся общий множитель:

   $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю:

   $3x(x-2)=0$

   Это уравнение равно нулю, если $x=0$ или $x=2$. У нас есть две критические точки: $x=0$ и $x=2$.

3. Проверим, находятся ли критические точки в заданном отрезке:

   Обе точки $x=0$ и $x=2$ находятся в отрезке $[-2;3]$.

4. Вычислим значения функции на границах отрезка и в критических точках:

   Теперь нам нужно найти значения функции в точках:

   • На границе $x=-2$: $f(-2)=(-2{)}^3-3(-2{)}^2+2=-8-12+2=-18$

   • На границе $x=3$: $f(3)=3^3-3\cdot 3^2+2=27-27+2=2$

   • В критической точке $x=0$: $f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2$

   • В критической точке $x=2$: $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2$

5. Сравним значения:

   Теперь у нас есть значения функции:

   • $f(-2$ = -18 )
   • $f(0$ = 2 )
   • $f(2$ = -2 )
   • $f(3$ = 2 )

   Наибольшее значение среди этих результатов:

   $max-18,2,-2,2=2$

6. Ответ:

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке $[-2;3]$ равно $2$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x$ = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке $[-2;3]$, сначала найдем производную и найдем критические точки:

1. Находим производную: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

2. Приравниваем производную к нулю: $3x^2-6x=0⟹3x(x-2)=0$ Критические точки: $x=0$ и $x=2$.

3. Проверяем значения функции в критических точках и на границах отрезка: $f(-2)=(-2{)}^3-3(-2{)}^2+2=-8-12+2=-18$ $f(0)=0^3-3(0{)}^2+2=2$ $f(2)=2^3-3(2{)}^2+2=8-12+2=-2$ $f(3)=3^3-3(3{)}^2+2=27-27+2=2$

4. Сравниваем значения:

   • $f(-2$ = -18 )
   • $f(0$ = 2 )
   • $f(2$ = -2 )
   • $f(3$ = 2 )

Наибольшее значение функции на отрезке $[-2;3]$ равно $2$.