Найти функцию обратную к данной. указать ее область определения и область значения a)y=7/x-4 b)y=3-x^5

a) Для нахождения обратной функции необходимо поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y: x = 7/y - 4 x + 4 = 7/y y = 7/(x+4)

Таким образом, обратная функция к y = 7/x-4 будет y = 7/(x+4). Область определения этой функции: x ≠ -4 (так как знаменатель не может быть равен нулю), область значений: y ≠ 0.

b) Для функции y = 3 - x^5 обратная функция будет: x = 3 - y^5 y^5 = 3 - x y = (3 - x)^(1/5)

Обратная функция к y = 3 - x^5 равна y = (3 - x)^(1/5). Область определения этой функции: x ≤ 3, область значений: все действительные числа.

a) Функция обратная к y=7/x-4: x=7/(y+4). Область определения: y ≠ -4, область значений: x ≠ 0. b) Функция обратная к y=3-x^5: x=(3-y)^(1/5). Область определения: y ≤ 3, область значений: x ≥ 0.

Для нахождения обратной функции ( y = f(x) ), необходимо выразить ( x ) через ( y ) и затем поменять местами переменные ( x ) и ( y ). Рассмотрим каждый случай по отдельности.

a) ( y = \frac{7}{x} - 4 )

1. Выразим ( x ) через ( y ):

   [ y = \frac{7}{x} - 4 ]

   Сначала изолируем дробь:

   [ y + 4 = \frac{7}{x} ]

   Затем перевернем дробь:

   [ x = \frac{7}{y + 4} ]

2. Поменяем переменные местами и обозначим новую функцию ( y = f^{-1}(x) ):

   [ y = \frac{7}{x + 4} ]

   Таким образом, обратная функция:

   [ f^{-1}(x) = \frac{7}{x + 4} ]

3. Область определения и область значений:

   • Оригинальная функция ( f(x) = \frac{7}{x} - 4 ):

     • Область определения: ( x \neq 0 ) (так как деление на ноль не определено).
     • Область значений: ( y \neq -4 ) (так как дробь не может равняться нулю).

   • Обратная функция ( f^{-1}(x) = \frac{7}{x + 4} ):

     • Область определения: ( x \neq -4 ) (так как деление на ноль не определено).
     • Область значений: ( y \neq 0 ) (так как деление на ноль не определено).

b) ( y = 3 - x^5 )

1. Выразим ( x ) через ( y ):

   [ y = 3 - x^5 ]

   Изолируем ( x^5 ):

   [ x^5 = 3 - y ]

   Найдем ( x ):

   [ x = \sqrt[5]{3 - y} ]

2. Поменяем переменные местами и обозначим новую функцию ( y = f^{-1}(x) ):

   [ y = \sqrt[5]{3 - x} ]

   Таким образом, обратная функция:

   [ f^{-1}(x) = \sqrt[5]{3 - x} ]

3. Область определения и область значений:

   • Оригинальная функция ( f(x) = 3 - x^5 ):

     • Область определения: Все вещественные числа ( \mathbb{R} ).
     • Область значений: Все вещественные числа ( \mathbb{R} ).

   • Обратная функция ( f^{-1}(x) = \sqrt[5]{3 - x} ):

     • Область определения: Все вещественные числа ( \mathbb{R} ).
     • Область значений: Все вещественные числа ( \mathbb{R} ).

Подведем итоги:

• Для ( y = \frac{7}{x} - 4 ) обратная функция ( f^{-1}(x) = \frac{7}{x + 4} ) с областью определения ( x \neq -4 ) и областью значений ( y \neq 0 ).
• Для ( y = 3 - x^5 ) обратная функция ( f^{-1}(x) = \sqrt[5]{3 - x} ) с областью определения и областью значений во всех вещественных числах ( \mathbb{R} ).