Найдите значение выражения 3√19*3√2*√38

Для того чтобы найти значение данного выражения, нужно сначала упростить произведение корней. Используя свойства корней, мы можем умножить числа под корнями и вынести их за пределы корня.

3√19 3√2 √38 = 3√(19238) = 3√(36*38) = 3√(1080)

Теперь нам нужно найти квадратный корень из 1080. Разложим число на простые множители: 1080 = 2^3 3^3 5. Теперь мы можем вынести квадратный корень из квадратов простых множителей:

3√(1080) = 3√(2^3 3^3 5) = 3 2 3√5 = 6√5

Итак, значение выражения 3√19 3√2 √38 равно 6√5.

Для нахождения значения выражения ( 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} ), сначала упростим каждый из множителей, а затем произведем необходимые вычисления.

1. Произведение корней: Напомним, что произведение корней можно записать как корень из произведения. То есть: [ 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = \sqrt[3]{19} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{38} ]

2. Объединение корней: Для удобства преобразуем произведение кубических корней. Используем свойство корней: [ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b} ] Таким образом, выражение можно записать как: [ \sqrt[3]{19 \cdot 2} \cdot \sqrt{38} ]

3. Умножение подкоренных выражений: Теперь перемножим числа под корнями: [ 19 \cdot 2 = 38 ] Следовательно: [ \sqrt[3]{38} \cdot \sqrt{38} ]

4. Объединение корней: Теперь у нас произведение кубического корня и квадратного корня. Запишем это так: [ \sqrt[3]{38} \cdot \sqrt{38} = 38^{1/3} \cdot 38^{1/2} ] Чтобы упростить, воспользуемся свойством степеней, согласно которому, при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: [ 38^{1/3} \cdot 38^{1/2} = 38^{1/3 + 1/2} ]

5. Сложение показателей степеней: Приведем показатели к общему знаменателю. Для 1/3 и 1/2 общий знаменатель равен 6: [ \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} ] Тогда сумма показателей степени будет: [ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} ] Следовательно: [ 38^{1/3 + 1/2} = 38^{5/6} ]

6. Ответ: Значение выражения ( 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} ) равно ( 38^{5/6} ).