Найдите значение х, при которых значение производной функции f(x)=6x-xкорень из х положительны?

Для того чтобы найти значение x, при котором значение производной функции f(x) = 6x - x√x положительно, необходимо найти точки экстремума функции. Для этого вычислим производную функции f'(x) и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 6 - (1/2)√x = 0

6 = (1/2)√x

12 = √x

x = 144

Таким образом, значение x, при котором значение производной функции f(x) = 6x - x√x положительно, равно 144.

Значение х должно быть больше 0.

Для того чтобы найти значения ( x ), при которых производная функции ( f(x) = 6x - x\sqrt{x} ) положительна, нужно сначала найти саму производную этой функции.

Функция дана как ( f(x) = 6x - x\sqrt{x} ). Разложим её на части:

1. ( 6x ) — это линейная функция, производная которой равна 6.

2. ( x\sqrt{x} ) можно переписать как ( x^{1.5} ) или ( x^{3/2} ). Производная ( x^{n} ) равна ( nx^{n-1} ). Применяем это правило:

   [ \frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{1/2} ]

Теперь найдем производную всей функции:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(x^{3/2}) = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} ]

Чтобы ( f'(x) ) было положительно, необходимо решить неравенство:

[ 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} > 0 ]

Решим это неравенство:

1. Перенесем (\frac{3}{2}x^{1/2}) в правую часть:

   [ 6 > \frac{3}{2}x^{1/2} ]

2. Умножим обе части на (\frac{2}{3}) чтобы избавиться от дроби:

   [ \frac{12}{3} > x^{1/2} ]

   [ 4 > x^{1/2} ]

3. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   [ 16 > x ]

Таким образом, производная функции будет положительной при ( x < 16 ).

Так как функция ( f(x) = 6x - x\sqrt{x} ) определена для ( x \geq 0 ) (так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным), то окончательный ответ: производная функции положительна на интервале ( 0 \leq x < 16 ).