Найдите значение cos α,tg α,ctg α если sin α=4/5

Для того чтобы найти значения (\cos \alpha), (\tan \alpha) и (\cot \alpha), зная (\sin \alpha = \frac{4}{5}), мы можем использовать основные тригонометрические тождества и свойства.

1. Находим (\cos \alpha):

Используем основное тригонометрическое тождество для синуса и косинуса: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ] Подставим известное значение (\sin \alpha = \frac{4}{5}): [ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. ] [ \frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1. ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}. ] [ \cos \alpha = \pm \frac{3}{5}. ]

Здесь мы получаем два варианта: (\cos \alpha = \frac{3}{5}) или (\cos \alpha = -\frac{3}{5}). Выбор знака зависит от квадранта, в котором находится угол (\alpha). Без дополнительной информации о том, в каком квадранте находится (\alpha), точный знак определить невозможно.

1. Находим (\tan \alpha):

(\tan \alpha) определяется как отношение (\sin \alpha) к (\cos \alpha): [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. ]

Если (\cos \alpha = \frac{3}{5}), то: [ \tan \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}. ]

Если (\cos \alpha = -\frac{3}{5}), то: [ \tan \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}. ]

1. Находим (\cot \alpha):

(\cot \alpha) является обратной величиной (\tan \alpha): [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}. ]

Если (\tan \alpha = \frac{4}{3}), то: [ \cot \alpha = \frac{3}{4}. ]

Если (\tan \alpha = -\frac{4}{3}), то: [ \cot \alpha = -\frac{3}{4}. ]

Таким образом, значения тригонометрических функций зависят от знака (\cos \alpha), который определяется квадрантом, в котором находится угол (\alpha). Без этой информации оба набора значений являются возможными.

Дано, что sin α = 4/5.

Используя тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, находим cos α:

cos^2 α = 1 - sin^2 α cos α = ±√(1 - sin^2 α) cos α = ±√(1 - (4/5)^2) cos α = ±√(1 - 16/25) cos α = ±√(9/25) cos α = ±3/5

Так как cos α > 0 и sin α > 0 в первом квадранте, то cos α = 3/5.

Далее, находим tg α:

tg α = sin α / cos α tg α = (4/5) / (3/5) tg α = 4/3

И, наконец, находим ctg α:

ctg α = 1 / tg α ctg α = 1 / (4/3) ctg α = 3/4

Итак, при sin α = 4/5, получаем: cos α = 3/5, tg α = 4/3, ctg α = 3/4.

cos α = 3/5 tg α = 4/3 ctg α = 3/4