Найдите все значения x, при каждом из которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю

Для нахождения значений ( x ), при которых производная функции ( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 11 ) равна нулю, сначала найдем эту производную. Дифференцируя функцию по ( x ), получаем:

[ y' = (x^3 - 6x^2 + 9x - 11)' = 3x^2 - 12x + 9. ]

Теперь нужно решить уравнение: [ 3x^2 - 12x + 9 = 0. ]

Для упрощения уравнения разделим все коэффициенты на 3: [ x^2 - 4x + 3 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}. ]

Отсюда: [ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, ] [ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1. ]

Таким образом, производная функции ( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 11 ) равна нулю при ( x = 1 ) и ( x = 3 ). Это означает, что в этих точках функция имеет локальные экстремумы (минимумы или максимумы).

Для нахождения всех значений x, при которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю, сначала найдем производную этой функции.

y=x³-6x²+9x-11 y'=3x²-12x+9

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

3x²-12x+9=0

Делим обе стороны на 3:

x²-4x+3=0

Факторизуем уравнение:

(x-3)(x-1)=0

Отсюда получаем два корня:

x=3 и x=1

Итак, значения x, при которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю, равны 3 и 1.

Для нахождения значений x, при которых производная функции равна нулю, нужно найти корни уравнения производной функции.