Найдите все значения x, при каждом из которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю

Для нахождения значений $x$, при которых производная функции $y=x^3-6x^2+9x-11$ равна нулю, сначала найдем эту производную. Дифференцируя функцию по $x$, получаем:

$y^{\prime }=(x^3-6x^2+9x-11{)}^{\prime }=3x^2-12x+9.$

Теперь нужно решить уравнение: $3x^2-12x+9=0.$

Для упрощения уравнения разделим все коэффициенты на 3: $x^2-4x+3=0.$

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm 2}{2}=\frac{4\pm 2}{2}.$

Отсюда: $x_1=\frac{4+2}{2}=3,$ $x_2=\frac{4-2}{2}=1.$

Таким образом, производная функции $y=x^3-6x^2+9x-11$ равна нулю при $x=1$ и $x=3$. Это означает, что в этих точках функция имеет локальные экстремумы $минимумыилимаксимумы$.

Для нахождения всех значений x, при которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю, сначала найдем производную этой функции.

y=x³-6x²+9x-11 y'=3x²-12x+9

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

3x²-12x+9=0

Делим обе стороны на 3:

x²-4x+3=0

Факторизуем уравнение:

$x-3$$x-1$=0

Отсюда получаем два корня:

x=3 и x=1

Итак, значения x, при которых производная функции y=x³-6x²+9x-11 равна нулю, равны 3 и 1.

Для нахождения значений x, при которых производная функции равна нулю, нужно найти корни уравнения производной функции.