Найдите точку максимума функции y=7 + 12x -x^3.

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти ее производную и найти корни уравнения производной, где значение производной равно нулю.

Итак, найдем производную функции y=7 + 12x - x^3: y' = 12 - 3x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения: 12 - 3x^2 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, у нас два кандидата на точки экстремума: x=2 и x=-2. Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности этих точек.

Для этого можно воспользоваться второй производной или методом знаков. Подставим значения x=2 и x=-2 во вторую производную:

y'' = -6x

При x=2, y'' = -12, что означает, что точка x=2 является точкой максимума функции y=7 + 12x - x^3.

Таким образом, точка максимума функции y=7 + 12x - x^3 находится при x=2, y=7 + 12*2 - 2^3 = 31.

Для нахождения точки максимума функции $y=7+12x-x^3$, сначала нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы определить критические точки.

1. Найдем производную функции: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(7+12x-x^3)=12-3x^2$

2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $12-3x^2=0$ $3x^2=12$ $x^2=4$ $x=\pm 2$

У нас есть две критические точки: $x=2$ и $x=-2$.

1. Определим, какая из этих точек является точкой максимума, для этого исследуем знак второй производной в этих точках.

Вторая производная: $y^{″}=\frac{d^2}{d{x}^2}(12-3x^2)=-6x$

Подставляем наши критические точки во вторую производную: $y^{″}(2)=-6\cdot 2=-12$ $y^{″}(-2)=-6\cdot (-2)=12$

Поскольку $y^{″}(2$ < 0 ), точка $x=2$ является точкой максимума функции $втораяпроизводнаяотрицательна,чтоуказываетнамаксимумвэтойточке$. Точка $x=-2$ является точкой минимума, так как $y^{″}(-2$ > 0 ).

Таким образом, точка максимума функции $y=7+12x-x^3$ находится в точке $x=2$.