Найдите точку максимума функции y=7 + 12x -x^3.
Найдите точку максимума функции y=7 + 12x -x^3.
Для нахождения точки максимума функции необходимо найти ее производную и найти корни уравнения производной, где значение производной равно нулю.
Итак, найдем производную функции y=7 + 12x - x^3: y' = 12 - 3x^2
Теперь приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения: 12 - 3x^2 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 4 x = ±2
Таким образом, у нас два кандидата на точки экстремума: x=2 и x=-2. Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности этих точек.
Для этого можно воспользоваться второй производной или методом знаков. Подставим значения x=2 и x=-2 во вторую производную:
y'' = -6x
При x=2, y'' = -12, что означает, что точка x=2 является точкой максимума функции y=7 + 12x - x^3.
Таким образом, точка максимума функции y=7 + 12x - x^3 находится при x=2, y=7 + 12*2 - 2^3 = 31.
Для нахождения точки максимума функции ( y = 7 + 12x - x^3 ), сначала нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы определить критические точки.
Найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(7 + 12x - x^3) = 12 - 3x^2 ]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 12 - 3x^2 = 0 ] [ 3x^2 = 12 ] [ x^2 = 4 ] [ x = \pm 2 ]
У нас есть две критические точки: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).
Вторая производная: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(12 - 3x^2) = -6x ]
Подставляем наши критические точки во вторую производную: [ y''(2) = -6 \cdot 2 = -12 ] [ y''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 ]
Поскольку ( y''(2) < 0 ), точка ( x = 2 ) является точкой максимума функции (вторая производная отрицательна, что указывает на максимум в этой точке). Точка ( x = -2 ) является точкой минимума, так как ( y''(-2) > 0 ).
Таким образом, точка максимума функции ( y = 7 + 12x - x^3 ) находится в точке ( x = 2 ).
