Найдите точку максимума функции y=√4-4x-x2

Чтобы найти точку максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$, сначала найдем область определения. Функция под корнем должна быть неотрицательной, поэтому решим неравенство:

$4-4x-x^2\ge 0.$

Решая это неравенство, получаем:

$-x^2-4x+4\ge 0$ или $x^2+4x-4\le 0.$

Найдём корни уравнения $x^2+4x-4=0$:

$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+16}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}.$

Это дает нам два корня: $x_1=-2-2\sqrt{2}$ и $x_2=-2+2\sqrt{2}$.

Теперь найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(\sqrt{4-4x-x^2})=\frac{-2-2x}{2\sqrt{4-4x-x^2}}.$

Приравняем числитель к нулю:

$-2-2x=0\Rightarrow x=-1.$

Теперь проверим, находится ли $x=-1$ в области определения. Подставим $x=-1$ в неравенство:

$4-4(-1)-(-1{)}^2=4+4-1=7\ge 0.$

Таким образом, $x=-1$ принадлежит области определения.

Теперь найдём $y$ в этой точке:

$y(-1)=\sqrt{4-4(-1)-(-1{)}^2}=\sqrt{4+4-1}=\sqrt{7}.$

Следовательно, точка максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ находится в точке $(-1,\sqrt{7}$ ).

Давайте рассмотрим функцию $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ и найдем ее точку максимума.

Шаг 1: Определение области определения функции

Так как подкоренное выражение $4-4x-x^2$ должно быть неотрицательным $(\ge 0$), находим область определения функции.

$4-4x-x^2\ge 0$

Перепишем уравнение в стандартной форме:

$-x^2-4x+4\ge 0$

Умножим обе стороны на $-1$ $приэтомзнакнеравенстваменяется$:

$x^2+4x-4\le 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2+4x-4=0$ с помощью дискриминанта:

$D=b^2-4ac=4^2-4(1)(-4)=16+16=32$

Корни этого уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{2}=-2\pm \sqrt{2}$

Итак, $x_1=-2-\sqrt{2}$ и $x_2=-2+\sqrt{2}$.

Неравенство $x^2+4x-4\le 0$ выполняется на отрезке $x\in [-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}]$.

Шаг 2: Исследование функции

Функция $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ определена на $x\in [-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}]$, и внутри этого отрезка мы ищем точку максимума.

Обозначим подкоренное выражение как $z(x$ = 4 - 4x - x^2 ). Для нахождения максимума функции $y(x$ ), достаточно найти максимальное значение $z(x$ ), так как корень $\sqrt{z(x)}$ возрастает вместе с $z(x$ ).

Перепишем $z(x$ ):

$z(x)=-x^2-4x+4$

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз $(a=-1<0$), поэтому она достигает максимума в вершине параболы. Вершину находим по формуле:

$x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2(-1)}=-2$

Подставим $x=-2$ в $z(x$ ), чтобы найти значение функции:

$z(-2)=-(-2{)}^2-4(-2)+4=-4+8+4=8$

Так как $4-4x-x^2\ge 0$ только на отрезке $x\in [-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}]$, точка $x=-2$ принадлежит этому отрезку.

Шаг 3: Проверка значения функции $y(x$ )

Теперь вычислим значение функции $y(x$ ) $включаякорень$:

$y(-2)=\sqrt{z(-2)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Ответ:

Точка максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ достигается при $x=-2$. Значение функции в этой точке равно $y=2\sqrt{2}$.

Чтобы найти точку максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$, начнем с упрощения и анализа выражения под корнем. Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$4-4x-x^2\ge 0.$

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

$-x^2-4x+4\ge 0.$

Умножим на -1 $незабываяпоменятьзнакнеравенства$:

$x^2+4x-4\le 0.$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2+4x-4=0$ с помощью дискриминанта:

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16+16=32.$

Корни уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}.$

Таким образом, корни:

$x_1=-2-2\sqrt{2},x_2=-2+2\sqrt{2}.$

Теперь определим промежутки, где функция $y$ неотрицательна. Рассмотрим интервал, ограниченный корнями:

1. $x<-2-2\sqrt{2}$ $знакположителен$;
2. $-2-2\sqrt{2}<x<-2+2\sqrt{2}$ $знакотрицателен$;
3. $x>-2+2\sqrt{2}$ $знакположителен$.

Таким образом, функция $y$ определена на интервале:

$x\in [-2-2\sqrt{2},-2+2\sqrt{2}$. ]

Теперь нам нужно найти точку максимума внутри этого интервала. Для этого найдем производную функции $y$:

$y=(4-4x-x^2{)}^{1/2}.$

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(4-4x-x^2{)}^{-1/2}\cdot (-4-2x).$

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$-4-2x=0⟹2x=-4⟹x=-2.$

Теперь нужно проверить, находится ли $x=-2$ в нашем интервале. Да, он находится в интервале $[-2-2\sqrt{2},-2+2\sqrt{2}]$.

Теперь подставим значение $x=-2$ в исходную функцию для нахождения значения $y$:

$y(-2)=\sqrt{4-4(-2)-(-2{)}^2}=\sqrt{4+8-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Теперь проверим значения функции на границах интервала:

1. При $x=-2-2\sqrt{2}$: $y(-2-2\sqrt{2})=\sqrt{4-4(-2-2\sqrt{2})-(-2-2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4+8+8\sqrt{2}-(4+8+8\sqrt{2})}=0.$

2. При $x=-2+2\sqrt{2}$: $y(-2+2\sqrt{2})=\sqrt{4-4(-2+2\sqrt{2})-(-2+2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4+8-8\sqrt{2}-(4-8+8\sqrt{2})}=0.$

Таким образом, максимальное значение функции достигается в точке:

$\text{Точка максимума: }(-2,2\sqrt{2}).$