Найдите производную функции y=2x^3+sinx

Для нахождения производной функции y=2x^3+sinx необходимо взять производные от каждого слагаемого по отдельности.

Производная от 2x^3 равна 6x^2 (по правилу степенной функции). Производная от sinx равна cosx (по правилу производной синуса).

Таким образом, производная функции y=2x^3+sinx равна 6x^2+cosx.

Чтобы найти производную функции ( y = 2x^3 + \sin x ), мы будем использовать правила дифференцирования, а именно правило дифференцирования суммы и производные стандартных функций.

1. Производная от суммы функций: Если у вас есть функция, которая является суммой двух или более функций, например ( y = u(x) + v(x) ), то производная этой функции равна сумме производных этих функций: [ \frac{d}{dx}[u(x) + v(x)] = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} ]

2. Производная степенной функции: Для функции вида ( u(x) = ax^n ), где ( a ) — константа, а ( n ) — степень, производная будет: [ \frac{d}{dx}[ax^n] = nax^{n-1} ]

3. Производная от синуса: Производная функции ( v(x) = \sin x ) равна: [ \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x ]

Теперь применим эти правила к нашей функции:

Функция дана как ( y = 2x^3 + \sin x ). Найдем производную каждого слагаемого:

• Для ( 2x^3 ) используем правило степенной функции: [ \frac{d}{dx}[2x^3] = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2 ]

• Для ( \sin x ) используем правило для синуса: [ \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x ]

Теперь сложим обе производные, чтобы получить производную всей функции: [ \frac{dy}{dx} = 6x^2 + \cos x ]

Таким образом, производная функции ( y = 2x^3 + \sin x ) равна ( 6x^2 + \cos x ).

y' = 6x^2 + cosx