Найдите произведение корней уравнения lg^2 x -2 lgx-3=0

Произведение корней уравнения lg^2 x -2 lgx-3=0 равно 3.

Давайте начнем с решения уравнения ( \log^2 x - 2 \log x - 3 = 0 ).

Для упрощения обозначим ( y = \log x ). Тогда наше уравнение переписывается в виде:

[ y^2 - 2y - 3 = 0. ]

Это квадратное уравнение стандартного вида ( ay^2 + by + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ).

Чтобы найти корни этого уравнения, используем формулу квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ]

Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ):

[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}. ]

[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}. ]

[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}. ]

[ y = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

1. ( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 ),
2. ( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ).

Теперь вспомним, что ( y = \log x ). Следовательно, у нас есть два уравнения:

1. ( \log x = 3 ),
2. ( \log x = -1 ).

Решим их для ( x ):

1. Если ( \log x = 3 ), то ( x = 10^3 = 1000 ).
2. Если ( \log x = -1 ), то ( x = 10^{-1} = 0.1 ).

Теперь найдем произведение корней ( x_1 ) и ( x_2 ):

[ x_1 \cdot x_2 = 1000 \cdot 0.1 = 100. ]

Таким образом, произведение корней данного уравнения равно 100.

Для начала, давайте представим уравнение в виде квадратного трехчлена:

(lg x)^2 - 2(lg x) - 3 = 0

Теперь заметим, что это уравнение можно решить, представив его в виде квадратного уравнения относительно переменной y = lg x:

y^2 - 2y - 3 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16

y1,2 = (-b ± √D) / 2a = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2

y1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 y2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, у нас получились два корня уравнения y: y1 = 3 и y2 = -1.

Теперь найдем соответствующие им корни исходного уравнения в виде lg x:

lg x1 = 3 lg x2 = -1

Теперь найдем произведение корней уравнения, умножив их между собой:

lg x1 lg x2 = 3 (-1) = -3

Итак, произведение корней уравнения lg^2 x - 2 lg x - 3 = 0 равно -3.