Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2,y=0,x=0 и x=3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо вычислить определенный интеграл функции y=x^2 на отрезке [0,3].

Итак, площадь S будет равна интегралу от x^2 по оси x на отрезке от 0 до 3: S = ∫[0,3] x^2 dx

Вычислим данный интеграл: S = ∫[0,3] x^2 dx = (x^3)/3 |[0,3] = (3^3)/3 - (0^3)/3 = 27/3 = 9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2,y=0,x=0 и x=3, равна 9 квадратным единицам.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ), и ( x = 3 ), нам необходимо вычислить определенный интеграл.

1. Определим границы интегрирования.

   Поскольку линии ( x = 0 ) и ( x = 3 ) являются вертикальными, они задают границы интегрирования по оси ( x ). Линия ( y = 0 ) представляет ось ( x ), а линия ( y = x^2 ) — параболу. Таким образом, область, площадь которой мы ищем, находится между параболой и осью ( x ), от ( x = 0 ) до ( x = 3 ).

2. Запишем интеграл для нахождения площади.

   Площадь ( A ) этой области можно получить, вычислив интеграл:

   [ A = \int{0}^{3} (x^2 - 0) \, dx = \int{0}^{3} x^2 \, dx ]

3. Вычислим интеграл.

   Чтобы вычислить интеграл ( \int x^2 \, dx ), используем правило интегрирования степенной функции:

   [ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]

   Для ( n = 2 ):

   [ \int x^2 \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C ]

   Подставим пределы интегрирования:

   [ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} ]

4. Посчитаем результат.

   [ A = \frac{27}{3} - 0 = 9 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 9 квадратным единицам.