Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=x+2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=x+2, необходимо сначала найти точки их пересечения.

Для этого приравняем уравнения y=x^2 и y=x+2: x^2 = x+2 x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: D = (-1)^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9 x1,2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2 x1 = 4/2 = 2 x2 = -2/2 = -1

Таким образом, точки пересечения линий y=x^2 и y=x+2 равны x=-1 и x=2. Далее найдем соответствующие значения y: y1 = (-1)^2 = 1 y2 = 2 + 2 = 4

Теперь можем построить график функций y=x^2 и y=x+2 и найти площадь фигуры между ними. По графику видно, что площадь равна интегралу функции x+2 - x^2 от x=-1 до x=2.

S = ∫[from -1 to 2] (x+2 - x^2) dx S = [(x^2 / 2) + 2x - (x^3 / 3)]|[from -1 to 2] S = [(2^2 / 2) + 2*2 - (2^3 / 3)] - [((-1)^2 / 2) + 2*(-1) - ((-1)^3 / 3)] S = [2 + 4 - 8/3] - [1/2 - 2 + 1/3] S = [6 - 8/3] - [1/2 - 2/1 + 1/3] S = [18/3 - 8/3] - [3/6 - 12/6 + 2/6] S = 10/3 - [-9/6] S = 10/3 + 9/6 S = 20/6 + 18/6 S = 38/6 S = 19/3 S = 6.33

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=x+2, равна 6.33.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x + 2, сначала нужно определить точки пересечения этих кривых. Это можно сделать, приравняв уравнения друг к другу:

x^2 = x + 2.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0.

Решим квадратное уравнение:

x^2 - x - 2 = 0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставляем значения: x = (1 ± sqrt(1 + 8)) / 2 = (1 ± sqrt(9)) / 2 = (1 ± 3) / 2.

Итак, корни уравнения: x1 = (1 + 3) / 2 = 2, x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = -1 и x = 2. В этом интервале кривые образуют замкнутую фигуру.

Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычесть из площади под большей кривой (x + 2) площадь под меньшей кривой (x^2) на интервале от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x + 2 - x^2) dx.

Выполним интегрирование: ∫(x + 2 - x^2) dx = ∫x dx + ∫2 dx - ∫x^2 dx = (x^2/2) + 2x - (x^3/3) + C.

Подставим пределы интегрирования: = [(2^2/2 + 22 - 2^3/3) - ((-1)^2/2 + 2(-1) - (-1)^3/3)] = [(2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3)] = [6 - 8/3 - 1/2 + 2 - 1/3] = [6 - 8/3 + 3/2 - 1/3] = [6 + 4.5 - 3 - 2.667 - 0.333] = 9 - 3 = 9/2.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x + 2, равна 4.5 квадратных единиц.