Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x²+5x+6, прямыми x= -1, x=2 и осью абсцисс.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² + 5x + 6, прямыми x = -1, x = 2 и осью абсцисс, мы должны найти точки пересечения графика функции с прямыми x = -1 и x = 2. Затем мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими точками, графиком функции и осью абсцисс.

Сначала найдем точки пересечения графика функции f(x) = x² + 5x + 6 с прямыми x = -1 и x = 2. Для этого подставим значения x = -1 и x = 2 в уравнение функции и найдем соответствующие значения y:

При x = -1: f(-1) = (-1)² + 5*(-1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 Точка пересечения с x = -1: (-1, 2)

При x = 2: f(2) = 2² + 5*2 + 6 = 4 + 10 + 6 = 20 Точка пересечения с x = 2: (2, 20)

Теперь мы видим, что фигура, ограниченная графиком функции f(x) = x² + 5x + 6, прямыми x = -1, x = 2 и осью абсцисс, представляет собой треугольник с вершинами в точках (-1, 0), (-1, 2) и (2, 0).

Площадь такого треугольника можно найти с помощью формулы для площади треугольника по координатам вершин: S = 0.5 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставим координаты вершин в формулу и вычислим площадь: S = 0.5 |-1(2 - 0) + (-1)(0 - 0) + 2(0 - 2)| S = 0.5 |-2 + 0 - 4| S = 0.5 |-6| S = 0.5 * 6 S = 3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² + 5x + 6, прямыми x = -1, x = 2 и осью абсцисс, равна 3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( f(x) = x^2 + 5x + 6 ), прямыми ( x = -1 ), ( x = 2 ) и осью абсцисс, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

   Для этого решим уравнение ( f(x) = 0 ): [ x^2 + 5x + 6 = 0. ] Это квадратное уравнение, которое можно решить методом разложения на множители: [ (x + 2)(x + 3) = 0. ] Отсюда находим корни: [ x = -2 \quad \text{и} \quad x = -3. ]

2. Определить область интегрирования и точки пересечения с заданными прямыми.

   Нам интересен интервал от ( x = -1 ) до ( x = 2 ). В этом интервале график функции не пересекает ось абсцисс, так как корни ( x = -2 ) и ( x = -3 ) не принадлежат данному интервалу. Поэтому функция будет либо полностью выше, либо полностью ниже оси абсцисс в этом интервале.

3. Исследовать поведение функции на заданном интервале.

   Подставим границы интервала в функцию, чтобы понять, где она находится относительно оси абсцисс: [ f(-1) = (-1)^2 + 5(-1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2, ] [ f(2) = (2)^2 + 5(2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20. ] В обеих точках функция принимает положительные значения, следовательно, на всём интервале от ( x = -1 ) до ( x = 2 ) график функции находится выше оси абсцисс.

4. Вычислить площадь под графиком функции на заданном интервале.

   Площадь под графиком функции ( f(x) ) от ( x = -1 ) до ( x = 2 ) можно найти с помощью интеграла: [ A = \int{-1}^{2} (x^2 + 5x + 6) \, dx. ] Вычислим этот интеграл: [ \int (x^2 + 5x + 6) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x + C. ] Подставим пределы интегрирования: [ A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x \right]{-1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} + \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-1)^2}{2} + 6 \cdot (-1) \right). ] Вычислим каждую часть: [ = \left( \frac{8}{3} + \frac{20}{2} + 12 \right) - \left( \frac{-1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right). ] [ = \left( \frac{8}{3} + 10 + 12 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right). ] [ = \left( \frac{8}{3} + \frac{66}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{15}{6} - \frac{36}{6} \right). ] [ = \left( \frac{74}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{21}{6} \right). ] [ = \frac{74}{3} + \frac{1}{3} + \frac{21}{6}. ] [ = \frac{75}{3} + \frac{21}{6}. ] [ = 25 + 3.5 = 28.5. ]

Таким образом, площадь фигуры составляет ( 28.5 ) квадратных единиц.

Площадь равна 10 единицам.