Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами...

Для начала найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 4^2 + 7^2 c^2 = 16 + 49 c^2 = 65 c = √65 ≈ 8.06 см

Теперь вычислим длину окружности, образованной вращением большего катета: L = 2πr, где r - радиус окружности, равный большему катету L = 2π * 7 см ≈ 43.98 см

Площадь боковой поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг большего катета, равна произведению длины окружности и длины гипотенузы: S = L c S = 43.98 см 8.06 см ≈ 354.86 см^2

Таким образом, площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см вокруг большего катета, составляет примерно 354.86 квадратных сантиметра.

Чтобы найти площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его большего катета, давайте разберёмся с этапами решения:

1. Определение формы тела при вращении:

   • Если прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из его катетов, тело, которое получится, будет конусом с усечённой вершиной, или, проще говоря, усечённым конусом $таккаквершинатреугольниканекасаетсяосивращения$.

2. Определение параметров конуса:

   • Прямоугольный треугольник имеет катеты длиной 4 см и 7 см. Вращаем вокруг большего катета, то есть вокруг катета длиной 7 см.
   • Катет, перпендикулярный к оси вращения, станет радиусом основания конуса. Значит, радиус основания $r=4$ см.
   • Высота треугольника в данном случае станет высотой конуса. Это перпендикулярное расстояние от вершины треугольника до оси вращения, равное 7 см.

3. Рассчитываем образующую конуса:

   • Образующая $l$ конуса — это гипотенуза треугольника. Рассчитаем её по теореме Пифагора: $l=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx 8.06\text{ см}$

4. Формула для площади боковой поверхности конуса:

   • Площадь боковой поверхности конуса $S$ можно найти по формуле: $S=\pi rl$ где $r$ — радиус основания, $l$ — образующая.

5. Подставляем значения: $S=\pi \cdot 4\cdot \sqrt{65}=4\pi \sqrt{65}$ Приблизительно: $S\approx 4\pi \cdot 8.06\approx 101.27{\text{ см}}^2$

Итак, площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см вокруг большего катета, составляет $4\pi \sqrt{65}$ или приблизительно $101.27$ квадратных сантиметров.

Рисунок

       A
      /|
     / |
    /  |
   /   |
  /    | 7 см
 /     |
/______|
B      C

Вращаем треугольник ABC вокруг катета BC.

При вращении вокруг катета BC, вершина A описывает круг, и образующая конуса будет гипотенузой AB.

   \         /
    \       /
     \     /
      \   / 8.06 см
       \ /
        *
       / \
      /   \
     /     \
    /       \
   /         \

Это боковая поверхность конуса.

Площадь боковой поверхности такого тела равна 60 см².