Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами...

Для начала найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 4^2 + 7^2 c^2 = 16 + 49 c^2 = 65 c = √65 ≈ 8.06 см

Теперь вычислим длину окружности, образованной вращением большего катета: L = 2πr, где r - радиус окружности, равный большему катету L = 2π * 7 см ≈ 43.98 см

Площадь боковой поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг большего катета, равна произведению длины окружности и длины гипотенузы: S = L c S = 43.98 см 8.06 см ≈ 354.86 см^2

Таким образом, площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см вокруг большего катета, составляет примерно 354.86 квадратных сантиметра.

Чтобы найти площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его большего катета, давайте разберёмся с этапами решения:

1. Определение формы тела при вращении:

   • Если прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из его катетов, тело, которое получится, будет конусом с усечённой вершиной, или, проще говоря, усечённым конусом (так как вершина треугольника не касается оси вращения).

2. Определение параметров конуса:

   • Прямоугольный треугольник имеет катеты длиной 4 см и 7 см. Вращаем вокруг большего катета, то есть вокруг катета длиной 7 см.
   • Катет, перпендикулярный к оси вращения, станет радиусом основания конуса. Значит, радиус основания ( r = 4 ) см.
   • Высота треугольника в данном случае станет высотой конуса. Это перпендикулярное расстояние от вершины треугольника до оси вращения, равное 7 см.

3. Рассчитываем образующую конуса:

   • Образующая ( l ) конуса — это гипотенуза треугольника. Рассчитаем её по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06 \text{ см} ]

4. Формула для площади боковой поверхности конуса:

   • Площадь боковой поверхности конуса ( S ) можно найти по формуле: [ S = \pi r l ] где ( r ) — радиус основания, ( l ) — образующая.

5. Подставляем значения: [ S = \pi \cdot 4 \cdot \sqrt{65} = 4 \pi \sqrt{65} ] Приблизительно: [ S \approx 4 \pi \cdot 8.06 \approx 101.27 \text{ см}^2 ]

Итак, площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см вокруг большего катета, составляет ( 4 \pi \sqrt{65} ) или приблизительно ( 101.27 ) квадратных сантиметров.

Рисунок

       A
      /|
     / |
    /  |
   /   |
  /    | 7 см
 /     |
/______|
B      C

Вращаем треугольник ABC вокруг катета BC.

При вращении вокруг катета BC, вершина A описывает круг, и образующая конуса будет гипотенузой AB.

   \         /
    \       /
     \     /
      \   / 8.06 см
       \ /
        *
       / \
      /   \
     /     \
    /       \
   /         \

Это боковая поверхность конуса.

Площадь боковой поверхности такого тела равна 60 см².