Найдите область определения функции y=log3 $x-4$

Область определения функции $y={\log }_3(x-4$ ) состоит из всех значений $x$, для которых аргумент логарифма положителен. То есть:

$x-4>0$

Решая неравенство, получаем:

$x>4$

Таким образом, область определения функции: $(4,+\mathrm{\infty }$ ).

Чтобы найти область определения функции $y={\log }_3(x-4$ ), нужно учитывать определение логарифмической функции. Логарифм определён только для положительных значений аргумента. То есть, выражение внутри логарифма должно быть больше нуля.

Шаг 1: Запишем условие

В данном случае аргумент логарифмической функции — это $x-4$. Для существования функции $y={\log }_3(x-4$ ), должно выполняться неравенство: $x-4>0.$

Шаг 2: Решим неравенство

Решаем данное неравенство: $x>4.$

Шаг 3: Область определения

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые больше 4. На языке интервалов это записывается так: $D(y)=(4,+\mathrm{\infty }).$

Шаг 4: Графическое представление

Графически это означает, что функция $y={\log }_3(x-4$ ) существует только для значений $x$, расположенных правее точки $x=4$ на числовой оси. При $x=4$ аргумент логарифма становится равным нулю $(x-4=0$), а логарифм от нуля не определён.

Шаг 5: Особенности функции

1. При $x\to 4^{+}$ $тоестьпри(x$ стремится к 4 справа), значение функции стремится к $-\mathrm{\infty }$, так как логарифм аргумента, близкого к нулю, уходит в минус бесконечность.
2. При увеличении $x>4$, значение $y={\log }_3(x-4$ ) растёт.

Итак, область определения функции — это $x\in (4,+\mathrm{\infty }$ ).

Чтобы найти область определения функции $y={\log }_3(x-4$ ), необходимо учитывать свойства логарифмов.

Логарифм ${\log }_b(a$ ) определён только для положительных значений $a$. В данном случае, аргумент логарифма — это $x-4$. Это означает, что для функции $y={\log }_3(x-4$ ) необходимо, чтобы:

$x-4>0$

Решим это неравенство:

$x>4$

Таким образом, область определения функции $y={\log }_3(x-4$ ) — это все значения $x$, которые больше 4. В математической записи это можно выразить как:

$D(y)=(4,+\mathrm{\infty })$

Это означает, что функция определена для всех $x$, находящихся в интервале от 4 $невключая4$ до бесконечности.

Дополнительное замечание: логарифм с основанием 3, как и любой другой логарифм с положительным основанием, также будет иметь свои свойства, такие как определённость, асимптоты и поведение на границе области определения, но для нахождения области определения достаточно рассмотреть только условие положительности аргумента логарифма.