Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой...

Объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, равен ( V = \frac{1}{2} \pi \cdot (a^2 + b^2) \cdot c ), где a и b - катеты, c - гипотенуза. Подставив значения, получим ( V = \frac{1}{2} \pi \cdot (6^2 + 10^2) \cdot 6 = 540\pi ) см³.

Для нахождения объема тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, необходимо воспользоваться формулой объема вращения.

Пусть бОльший катет прямоугольного треугольника равен a, меньший катет b, а гипотенуза c. Тогда объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, равен V = π b^2 a.

В данном случае a = 6 см, b = 8 см (по теореме Пифагора), следовательно, V = π 8^2 6 = 384π см^3.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета, равен 384π см^3.

Для решения этой задачи нам сначала нужно определить параметры прямоугольного треугольника. У нас есть прямоугольный треугольник с одним катетом длиной 6 см и гипотенузой длиной 10 см. Мы должны найти длину второго катета, чтобы определить форму треугольника.

Используем теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = c^2, ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.

По условию, возьмём ( a = 6 ) см и ( c = 10 ) см. Тогда:

[ 6^2 + b^2 = 10^2, ]

[ 36 + b^2 = 100, ]

[ b^2 = 100 - 36, ]

[ b^2 = 64, ]

[ b = \sqrt{64} = 8 \text{ см}. ]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, и гипотенузой 10 см. Поскольку задача требует найти объем тела, полученного при вращении треугольника вокруг большего катета (8 см), это будет тело вращения, конкретно — конус.

Когда треугольник вращается вокруг катета длиной 8 см, катет 6 см становится радиусом основания конуса, а катет 8 см — его высотой.

Формула объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, ]

где ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота.

Подставим известные значения:

[ r = 6 \text{ см}, ] [ h = 8 \text{ см}. ]

Следовательно,

[ V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8), ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8, ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 288, ]

[ V = 96\pi \text{ куб. см}. ]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении данного треугольника вокруг большего катета, составляет ( 96\pi ) кубических сантиметров.