Найдите наименьшее значение функции y= (x-10)^2(x+10)-7 на отрезке [8;18]

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = (x-10)^2(x+10) - 7 ) на отрезке [8; 18], следует сначала определить критические точки функции на данном отрезке и проверить значения функции в этих точках, а также на границах отрезка.

1. Найдем производную функции и критические точки.

   Для функции ( y = (x-10)^2(x+10) - 7 ) найдем производную: [ y' = \frac{d}{dx}[(x-10)^2(x+10)] ] Используем правило производной произведения (uv)' = u'v + uv': [ y' = 2(x-10)(x+10) + (x-10)^2 \cdot 1 = 2(x-10)(x+10) + (x-10)^2 ]

   Упростим выражение: [ y' = 2(x^2 - 100) + (x^2 - 20x + 100) = 3x^2 - 20x - 100 ]

2. Найдем корни производной.

   Найдем корни уравнения ( 3x^2 - 20x - 100 = 0 ). Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-100)}}{2 \cdot 3} ] [ x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 1200}}{6} ] [ x = \frac{20 \pm \sqrt{1600}}{6} ] [ x = \frac{20 \pm 40}{6} ] Получаем два корня: [ x_1 = 10, \quad x_2 = -\frac{10}{3} ]

   Корень ( x = 10 ) находится внутри отрезка [8; 18], а корень ( x = -\frac{10}{3} ) - нет.

3. Проверим значения функции в критической точке и на границах отрезка.

   • При ( x = 10 ): [ y = (10-10)^2(10+10) - 7 = 0 - 7 = -7 ]

   • При ( x = 8 ): [ y = (8-10)^2(8+10) - 7 = 4 \times 18 - 7 = 72 - 7 = 65 ]

   • При ( x = 18 ): [ y = (18-10)^2(18+10) - 7 = 64 \times 28 - 7 = 1792 - 7 = 1785 ]

4. Сравнение значений.

   Значения функции равны -7 при ( x = 10 ), 65 при ( x = 8 ) и 1785 при ( x = 18 ). Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке [8; 18] равно -7 и достигается при ( x = 10 ).

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x-10)^2(x+10)-7 на отрезке [8;18] необходимо найти критические точки функции в данном интервале и провести анализ их значений.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = 2(x-10)(x+10) + (x-10)^2 = 2x^2 - 100 + x^2 - 20x + 100 = 3x^2 - 20x

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 - 20x = 0 x(3x-20) = 0 x = 0 или x = 20/3

3. Проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала: y(8) = (-2)^2(18) - 7 = 67 y(18) = 8^2(28) - 7 = 3661 y(20/3) = (10/3)^2(40/3) - 7 = 1111/9

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [8;18] равно 67, и достигается при x=8.