Найдите наименьшее значение функции y= $x-10$^2$x+10$-7 на отрезке $8;18$

Для нахождения наименьшего значения функции $y=(x-10$^2$x+10$ - 7 ) на отрезке $8;18$, следует сначала определить критические точки функции на данном отрезке и проверить значения функции в этих точках, а также на границах отрезка.

1. Найдем производную функции и критические точки.

   Для функции $y=(x-10$^2$x+10$ - 7 ) найдем производную: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}[(x-10{)}^2(x+10)$ ] Используем правило производной произведения $uv$' = u'v + uv': $y^{\prime }=2(x-10)(x+10)+(x-10{)}^2\cdot 1=2(x-10)(x+10)+(x-10{)}^2$

   Упростим выражение: $y^{\prime }=2(x^2-100)+(x^2-20x+100)=3x^2-20x-100$

2. Найдем корни производной.

   Найдем корни уравнения $3x^2-20x-100=0$. Решим квадратное уравнение: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $x=\frac{-(-20)\pm \sqrt{(-20{)}^2-4\cdot 3\cdot (-100)}}{2\cdot 3}$ $x=\frac{20\pm \sqrt{400+1200}}{6}$ $x=\frac{20\pm \sqrt{1600}}{6}$ $x=\frac{20\pm 40}{6}$ Получаем два корня: $x_1=10,x_2=-\frac{10}{3}$

   Корень $x=10$ находится внутри отрезка $8;18$, а корень $x=-\frac{10}{3}$ - нет.

3. Проверим значения функции в критической точке и на границах отрезка.

   • При $x=10$: $y=(10-10{)}^2(10+10)-7=0-7=-7$

   • При $x=8$: $y=(8-10{)}^2(8+10)-7=4\times 18-7=72-7=65$

   • При $x=18$: $y=(18-10{)}^2(18+10)-7=64\times 28-7=1792-7=1785$

4. Сравнение значений.

   Значения функции равны -7 при $x=10$, 65 при $x=8$ и 1785 при $x=18$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $8;18$ равно -7 и достигается при $x=10$.

Для нахождения наименьшего значения функции y=$x-10$^2$x+10$-7 на отрезке $8;18$ необходимо найти критические точки функции в данном интервале и провести анализ их значений.

1. Найдем производную функции y по x: y'$x$ = 2$x-10$$x+10$ + $x-10$^2 = 2x^2 - 100 + x^2 - 20x + 100 = 3x^2 - 20x

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 - 20x = 0 x$3x-20$ = 0 x = 0 или x = 20/3

3. Проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала: y$8$ = $-2$^2$18$ - 7 = 67 y$18$ = 8^2$28$ - 7 = 3661 y$20/3$ = $10/3$^2$40/3$ - 7 = 1111/9

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $8;18$ равно 67, и достигается при x=8.