Найдите наибольшее значение функции y= log {5}$4-2х-{х}^2$+3

Наибольшее значение функции y = log5$4-2x-x^2$ + 3 равно 3.

Чтобы найти наибольшее значение функции $y={\log }_5(4-2x-x^2$ + 3 ), нужно рассмотреть несколько шагов:

1. Область определения функции: Функция $y={\log }_5(4-2x-x^2$ + 3 ) определена только тогда, когда аргумент логарифма положителен, то есть $4-2x-x^2>0$.

   Решим неравенство:

   $4-2x-x^2>0$

   Преобразуем его в стандартный вид квадратного неравенства:

   $-x^2-2x+4>0$

   Или, умножив на -1 $приэтомнеравенствоменяетзнак$:

   $x^2+2x-4<0$

   Найдём корни квадратного уравнения $x^2+2x-4=0$ по формуле квадратного корня:

   $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

   где $a=1$, $b=2$, $c=-4$.

   $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}=-1\pm \sqrt{5}$

   Таким образом, корни уравнения: $x_1=-1-\sqrt{5}$ и $x_2=-1+\sqrt{5}$.

   Неравенство $x^2+2x-4<0$ выполняется между корнями:

   $-1-\sqrt{5}<x<-1+\sqrt{5}$

2. Исследование функции на интервале $(-1-\sqrt{5},-1+\sqrt{5}$):

   Найдём производную функции $y$:

   $y={\log }_5(4-2x-x^2)+3$

   Производная логарифма по основанию 5:

   $\frac{d}{dx}{\log }_5(u)=\frac{1}{u\ln 5}\cdot \frac{du}{dx}$

   где $u=4-2x-x^2$.

   $\frac{d}{dx}(4-2x-x^2)=-2-2x$

   Следовательно,

   $\frac{d}{dx}y=\frac{1}{(4-2x-x^2)\ln 5}\cdot (-2-2x)$

   $y^{\prime }=\frac{-2(1+x)}{(4-2x-x^2)\ln 5}$

   Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

   $\frac{-2(1+x)}{(4-2x-x^2)\ln 5}=0$

   $-2(1+x)=0$

   $1+x=0$

   $x=-1$

3. Анализ критической точки и границ интервала:

   Проверим значения функции в критической точке $x=-1$ и на границах интервала $x=-1-\sqrt{5}$ и $x=-1+\sqrt{5}$.

   При $x=-1$:

   $y={\log }_5(4-2(-1)-(-1{)}^2)+3={\log }_5(4+2-1)+3={\log }_5(5)+3=1+3=4$

   При $x=-1+\sqrt{5}$:

   $y={\log }_5(4-2(-1+\sqrt{5})-(-1+\sqrt{5}{)}^2)+3$

   Так как $4-2(-1+\sqrt{5}$ - $-1+\sqrt{5}$^2 = 0 ), логарифм не определён.

   При $x=-1-\sqrt{5}$:

   $y={\log }_5(4-2(-1-\sqrt{5})-(-1-\sqrt{5}{)}^2)+3$

   Так как $4-2(-1-\sqrt{5}$ - $-1-\sqrt{5}$^2 = 0 ), логарифм не определён.

   Таким образом, наибольшее значение функции достигается в критической точке $x=-1$:

   $y=4$

Ответ: наибольшее значение функции $y={\log }_5(4-2x-x^2$ + 3 ) равно 4.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции y=log$5$$4-2x-x^2$+3, необходимо найти экстремум функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = $1/ln(5$) * $-2-2x$ = 0

-2 - 2x = 0 x = -1

Теперь найдем вторую производную и определим ее знак в точке x = -1:

y'' = $1/ln(5$) * $-2$ y'' = -2/ln$5$ < 0

Так как вторая производная отрицательна, то в точке x = -1 функция имеет локальный максимум. Теперь найдем значение функции в этой точке:

y$-1$ = log$5$$4-2\ast (-1$-$-1$^2)+3 y$-1$ = log$5$$4+2-1$+3 y$-1$ = log$5$$5$+3 y$-1$ = 1+3 y$-1$ = 4

Итак, наибольшее значение функции y= log$5$$4-2x-x^2$+3 равно 4.