Найдите наибольшее значение функции y= log {5}(4-2х-х^2)+3

Наибольшее значение функции y = log5(4-2x-x^2) + 3 равно 3.

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = \log_5(4 - 2x - x^2) + 3 ), нужно рассмотреть несколько шагов:

1. Область определения функции: Функция ( y = \log_5(4 - 2x - x^2) + 3 ) определена только тогда, когда аргумент логарифма положителен, то есть ( 4 - 2x - x^2 > 0 ).

   Решим неравенство:

   [ 4 - 2x - x^2 > 0 ]

   Преобразуем его в стандартный вид квадратного неравенства:

   [ -x^2 - 2x + 4 > 0 ]

   Или, умножив на -1 (при этом неравенство меняет знак):

   [ x^2 + 2x - 4 < 0 ]

   Найдём корни квадратного уравнения ( x^2 + 2x - 4 = 0 ) по формуле квадратного корня:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -4 ).

   [ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5} ]

   Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = -1 - \sqrt{5} ) и ( x_2 = -1 + \sqrt{5} ).

   Неравенство ( x^2 + 2x - 4 < 0 ) выполняется между корнями:

   [ -1 - \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5} ]

2. Исследование функции на интервале ((-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})):

   Найдём производную функции ( y ):

   [ y = \log_5(4 - 2x - x^2) + 3 ]

   Производная логарифма по основанию 5:

   [ \frac{d}{dx} \log_5(u) = \frac{1}{u \ln 5} \cdot \frac{du}{dx} ]

   где ( u = 4 - 2x - x^2 ).

   [ \frac{d}{dx} (4 - 2x - x^2) = -2 - 2x ]

   Следовательно,

   [ \frac{d}{dx} y = \frac{1}{(4 - 2x - x^2) \ln 5} \cdot (-2 - 2x) ]

   [ y' = \frac{-2(1 + x)}{(4 - 2x - x^2) \ln 5} ]

   Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

   [ \frac{-2(1 + x)}{(4 - 2x - x^2) \ln 5} = 0 ]

   [ -2(1 + x) = 0 ]

   [ 1 + x = 0 ]

   [ x = -1 ]

3. Анализ критической точки и границ интервала:

   Проверим значения функции в критической точке ( x = -1 ) и на границах интервала ( x = -1 - \sqrt{5} ) и ( x = -1 + \sqrt{5} ).

   При ( x = -1 ):

   [ y = \log_5(4 - 2(-1) - (-1)^2) + 3 = \log_5(4 + 2 - 1) + 3 = \log_5(5) + 3 = 1 + 3 = 4 ]

   При ( x = -1 + \sqrt{5} ):

   [ y = \log_5(4 - 2(-1 + \sqrt{5}) - (-1 + \sqrt{5})^2) + 3 ]

   Так как ( 4 - 2(-1 + \sqrt{5}) - (-1 + \sqrt{5})^2 = 0 ), логарифм не определён.

   При ( x = -1 - \sqrt{5} ):

   [ y = \log_5(4 - 2(-1 - \sqrt{5}) - (-1 - \sqrt{5})^2) + 3 ]

   Так как ( 4 - 2(-1 - \sqrt{5}) - (-1 - \sqrt{5})^2 = 0 ), логарифм не определён.

   Таким образом, наибольшее значение функции достигается в критической точке ( x = -1 ):

   [ y = 4 ]

Ответ: наибольшее значение функции ( y = \log_5(4 - 2x - x^2) + 3 ) равно 4.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции y=log(5)(4-2x-x^2)+3, необходимо найти экстремум функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = (1/ln(5)) * (-2 - 2x) = 0

-2 - 2x = 0 x = -1

Теперь найдем вторую производную и определим ее знак в точке x = -1:

y'' = (1/ln(5)) * (-2) y'' = -2/ln(5) < 0

Так как вторая производная отрицательна, то в точке x = -1 функция имеет локальный максимум. Теперь найдем значение функции в этой точке:

y(-1) = log(5)(4-2*(-1)-(-1)^2)+3 y(-1) = log(5)(4+2-1)+3 y(-1) = log(5)(5)+3 y(-1) = 1+3 y(-1) = 4

Итак, наибольшее значение функции y= log(5)(4-2x-x^2)+3 равно 4.