На стороне AC треугольника ABC обозначено точку D так, что CD : AD = 1 : 2. Найти отрезок BD, если AB...

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Вивиана.

По теореме Вивиана для треугольника ABC, произведение отрезков, на которые сторона треугольника делится точкой пересечения медиан, равно половине произведения длин стороны треугольника на длину медианы, проведенной к этой стороне.

Известно, что CD : AD = 1 : 2, следовательно, точка D делит сторону AC в отношении 1 : 2. Обозначим отрезок BD как x. Тогда отрезок AD равен 2x, отрезок CD равен x.

Применим теорему Вивиана к треугольнику ABC и медиане, проведенной к стороне AC. Пусть точка E - середина стороны AC. Длина медианы CE равна половине длины стороны BC, то есть CE = 6.5 см.

Тогда согласно теореме Вивиана:

CE AD = AE CD + BE * AD

6.5 2x = 7.5 x + 7 * 2x

13x = 7.5x + 14x

13x = 21.5x

8.5x = 13

x = 1.53 см

Ответ: Отрезок BD равен 1.53 см.

Чтобы найти длину отрезка BD, можно воспользоваться теоремой косинусов и свойствами треугольников. Давайте рассмотрим шаги решения задачи.

1. Определение координат точки D:

   Поскольку CD : AD = 1 : 2, точка D делит отрезок AC в отношении 1:2. Это значит, что AD = (2/3) AC и CD = (1/3) AC. Таким образом:

   • AD = (2/3) * 15 см = 10 см
   • CD = (1/3) * 15 см = 5 см

2. Использование теоремы косинусов в треугольнике ABC:

   Сначала найдем косинус угла A с помощью теоремы косинусов:

   [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A ]

   Подставим известные значения:

   [ 14^2 = 15^2 + 13^2 - 2 \cdot 15 \cdot 13 \cdot \cos A ]

   [ 196 = 225 + 169 - 390 \cdot \cos A ]

   [ 196 = 394 - 390 \cdot \cos A ]

   [ 390 \cdot \cos A = 394 - 196 ]

   [ 390 \cdot \cos A = 198 ]

   [ \cos A = \frac{198}{390} = \frac{33}{65} ]

3. Использование теоремы косинусов в треугольнике ABD:

   Теперь применим теорему косинусов для треугольника ABD, чтобы найти BD:

   [ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A ]

   Подставим известные значения:

   [ BD^2 = 14^2 + 10^2 - 2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot \frac{33}{65} ]

   [ BD^2 = 196 + 100 - 280 \cdot \frac{33}{65} ]

   [ BD^2 = 296 - \frac{9240}{65} ]

   [ BD^2 = 296 - 142.1538 ]

   [ BD^2 \approx 153.8462 ]

   [ BD \approx \sqrt{153.8462} \approx 12.4 \text{ см} ]

Таким образом, длина отрезка BD примерно равна 12.4 см.