На окружности с центром O отмечены точки A,В,C так,что угол АВС=50.Найти углы треугольника АОС

Для решения задачи начнем с анализа условий. У нас есть окружность с центром в точке O и три точки на этой окружности: A, B и C. Дано, что угол $\mathrm{\angle }ABC={50}^{\circ }$.

В данной задаче мы будем использовать свойства углов, образованных секущими и хордой.

1. Определение угла AOC: Угол AOC является центральным углом, который соответствует дуге AC. Угол ABC является вписанным углом, который опирается на ту же дугу AC.

   По свойству вписанных углов, мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, можно записать следующее равенство: $\mathrm{\angle }AOC=2\cdot \mathrm{\angle }ABC$ Подставляем значение угла ABC: $\mathrm{\angle }AOC=2\cdot {50}^{\circ }={100}^{\circ }$

2. Определение угла AOB: Теперь найдём угол AOB. Угол AOB будет равен разности 180 градусов и угла AOC, так как A, O, B лежат на одной прямой $внешнийугол$. Таким образом, мы можем записать: $\mathrm{\angle }AOB={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }AOC$ Подставляем значение угла AOC: $\mathrm{\angle }AOB={180}^{\circ }-{100}^{\circ }={80}^{\circ }$

3. Определение угла BOC: Угол BOC также можно найти с помощью свойств треугольника AOB. Сумма всех углов в треугольнике AOB равна 180 градусам: $\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }OAB+\mathrm{\angle }OBA={180}^{\circ }$ Однако, чтобы найти угол BOC, мы можем воспользоваться тем, что сумма всех центральных углов в круге равна 360 градусов, и мы уже знаем угол AOC и AOB: $\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }BOC={360}^{\circ }$ Подставим известные значения: ${80}^{\circ }+{100}^{\circ }+\mathrm{\angle }BOC={360}^{\circ }$ $\mathrm{\angle }BOC={360}^{\circ }-{180}^{\circ }={180}^{\circ }$

Итак, мы нашли все углы треугольника AOC:

• $\mathrm{\angle }AOC={100}^{\circ }$
• $\mathrm{\angle }AOB={80}^{\circ }$
• $\mathrm{\angle }BOC={180}^{\circ }$

Таким образом, ответ на вопрос: углы треугольника AOC равны 100°, 80° и 180°.

Давайте разберём данную задачу. У нас есть окружность с центром $O$, на которой отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Также известно, что угол $\mathrm{\angle }ABC={50}^{\circ }$. Требуется найти углы треугольника $AOC$.

Шаг 1. Свойства углов в окружности

На окружности угол $\mathrm{\angle }ABC$ является вписанным углом, так как его вершина $B$ лежит на окружности, а стороны $AB$ и $BC$ пересекают окружность. Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу.

Обозначим дугу $AC$ окружности, на которую опирается угол $\mathrm{\angle }ABC$. Тогда центральный угол $\mathrm{\angle }AOC$, который также опирается на дугу $AC$, будет в два раза больше вписанного угла $\mathrm{\angle }ABC$: $\mathrm{\angle }AOC=2\cdot \mathrm{\angle }ABC=2\cdot {50}^{\circ }={100}^{\circ }.$

Шаг 2. Треугольник $AOC$

Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как $OA$ и $OC$ — это радиусы одной и той же окружности $(OA=OC$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Обозначим углы при основаниях $\mathrm{\angle }OAC$ и $\mathrm{\angle }OCA$ через $\alpha$. Тогда сумма углов треугольника $AOC$ равна ${180}^{\circ }$: $\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }OAC+\mathrm{\angle }OCA={180}^{\circ }.$

Подставим известное значение $\mathrm{\angle }AOC={100}^{\circ }$: ${100}^{\circ }+\alpha +\alpha ={180}^{\circ }.$

Упростим уравнение: $2\alpha ={80}^{\circ }.$

Найдём $\alpha$: $\alpha ={40}^{\circ }.$

Шаг 3. Ответ

Углы треугольника $AOC$ равны: $\mathrm{\angle }AOC={100}^{\circ },\mathrm{\angle }OAC={40}^{\circ },\mathrm{\angle }OCA={40}^{\circ }.$